作者Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)
看板Physics
標題Re: [問題] homogenous和isotropic的差別
時間Sat Oct 1 00:20:31 2011
※ 引述《ed78617 (雞爪)》之銘言：
( 以下 tensor 均以矩陣為例 )
→ ←→ →
D (ω,q1,q2,q3,t) = ε (*) E (q1,q2,q3,t)
3
Di(ω,q1,q2,q3,t) = Σ εij(*) Ej(q1,q2,q3,t)
j=1
←→ { ε11(*) ε12(*) ε13(*) }
ε = { ε21(*) ε22(*) ε23(*) }
{ ε31(*) ε32(*) ε33(*) }
εij(*) = εij( ω,q1,q2,q3,t,Ej(q1,q2,q3,t) )
→
ω 為介質的參數，q1、q2、q3 為廣義座標，t 為時間，Ej 為 E 的分量
============================
: 若是linear，εij is independent of Ej
(線性)
εij 裡的所有變數都跟 Ej(q1,q2,q3,t) 無關 => εij(ω,q1,q2,q3,t)
←→ { ε11(ω,q1,q2,q3,t) ε12(ω,q1,q2,q3,t) ε13(ω,q1,q2,q3,t) }
ε = { ε21(ω,q1,q2,q3,t) ε22(ω,q1,q2,q3,t) ε23(ω,q1,q2,q3,t) }
{ ε31(ω,q1,q2,q3,t) ε32(ω,q1,q2,q3,t) ε33(ω,q1,q2,q3,t) }
3
Di(ω,q1,q2,q3,t) = Σ εij(ω,q1,q2,q3,t) Ej(q1,q2,q3,t)
j=1
→ ←→ →
D (ω,q1,q2,q3,t) = ε(ω,q1,q2,q3,t) E (q1,q2,q3,t)
============================
: 若是isotropic
(各向同性)
則ε11(*)=ε22(*)=ε33(*)=ε(*)
←→ { ε(*) 0 0 }
ε = { 0 ε(*) 0 }
{ 0 0 ε(*) }
←→
= ε(*) I = ε(*) (此時可從矩陣變為純量)
Di(*) = ε(*) Ei(q1,q2,q3,t)
→ →
D (*) = ε(*) E (q1,q2,q3,t)
: εij = 0 if i≠j
:
: 表示tensor只有對角元素 (可以是位置的函數)，其餘元素為零
:
: 這說明，電磁波對於給定的位置，從不同角度入射，會得相同的D
給定的位置或時間 => (q1,q2,q3,t) 是固定常數，不管從那個角度入射，會得相同的D
→ →
只是 D 的大小跟 E 有所不同，方向性都一樣
: 若tensor仍只有對角元素，但ε11(r)、ε22(r)、ε33(r)不盡相同
ε11(*)、ε22(*)、ε33(*)其中有一個以上不同
←→ { ε11(*) 0 0 }
ε = { 0 ε22(*) 0 }
{ 0 0 ε33(*) }
(此時不可從矩陣變為純量)
→ ←→ →
D (*) = ε (*) E (q1,q2,q3,t)
: 則為anisotropic
============================
: 若是homogeneous
(均質)
則 εij is independent of ω,q1,q2,q3,t
←→ { ε11 ε12 ε13 }
ε = { ε21 ε22 ε23 }
{ ε31 ε32 ε33 }
εij 均為常數
→ ←→ →
D (q1,q2,q3,t) = ε E (q1,q2,q3,t)
3
Di(q1,q2,q3,t) = Σ εij Ej(q1,q2,q3,t)
j=1
{D1(q1,q2,q3,t)} { ε11 ε12 ε13 } {E1(q1,q2,q3,t)}
{D2(q1,q2,q3,t)} = { ε21 ε22 ε23 }.{E2(q1,q2,q3,t)}
{D3(q1,q2,q3,t)} { ε31 ε32 ε33 } {E3(q1,q2,q3,t)}
: 代表電磁波在不同位置的εij都相同，但若電磁波由不同角度入射，D的結果不同
εij 雖為常數，但仍然無法將矩陣化為純量
: 故在linear + isotropic + homogeneous的條件下
→
linear => 使εij 不相依於 E 的各分量
isotropic => 使εij 的非對角項為 0，且對角項均相等，進而使矩陣化為純量
homogeneous => 使εij 全部成為常數，尤其是對角項是常數
:
: { ε11 0 0 }
: D = { 0 ε22 0 } E 且ε11=ε22=ε33
: { 0 0 ε33 }
ε11 = ε22 = ε33 = ε = 常數，又此矩陣可化為純量中的常數
故ε可寫為一個constant
: 好像打得蠻囉唆的...
您說的已經很言簡意賅了^^
如有錯誤請不吝指正 謝謝^^
--
格林定理：
(1)散度積分(∮F．nds=∮Mdy-Ndx=∫∫∂M/∂x+∂N/∂y dxdy)
(2)旋度積分(∮F．Tds=∮Mdx+Ndy=∫∫∂N/∂x-∂M/∂y dxdy)
Thomas' Calculus updated 10 edition 13.4 P1083
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.161.248.94
※ 編輯: Frobenius 來自: 118.161.248.94 (10/01 00:25)
1F：推 chungweitw:為何有 omega 又有 t ? 10/01 00:27
2F：→ chungweitw:喔...omega 不是頻率. :p 10/01 00:27
3F：→ Frobenius:ω在此不是頻率，是介質的參數 10/01 00:28
4F：→ Frobenius:XD 10/01 00:28
※ 編輯: Frobenius 來自: 118.161.248.94 (10/01 00:41)
5F：→ Vulpix:εij跟Ej有關的話不就不是tensor了？ 10/01 01:44
→ ←→
Ej 是 E 的分量，且是純量部分，所以 ε 仍是tensor (在此例中是矩陣)
→ ^ ^ ^
ex: E = E1 q1 + E2 q2 + E3 q3
※ 編輯: Frobenius 來自: 118.161.248.94 (10/01 09:57)
6F：推 smisfun:推 寫得很詳細 10/03 08:41