※ 引述《light0617 (EDWIN)》之銘言： : ※ 引述《light0617 (EDWIN)》之銘言： : [領域]微分方程 (題目相關領域) : [來源] 工程數學 (喻超凡) (課本習題、考古題、參考書...) : [題目] : 有幾個問題想請教板上神人 : (n) : [n/2] 2n-2k n : 1.Pn(x)=Σ [(-1)^k]*[2^(-n)]C C x^(2n-k) : k=0 k k : 改成這樣了 剛剛很不好意思 讓大家看不懂@@ : PS:此為legendre方程式的解 : WHY Pn'(-x)=(-1)^(n+1)Pn'(x)??? : 解答是先算Pn'(x)再把-x代入 變成Pn'(-x) : 但我是從Pn(-x)去微分 結果是(-1)^n 答案就不一樣了 : 一直不解.... : 請各問大大幫小弟解答~ Pn(x)和Pn(-x)其實本質上是一樣的,括弧內的意思是代表裡面是"變數", 你要取裡面的變量是正負號,甚至是平方都不影響那個函數的本質 舉一個簡單的例子: f(x)=sin(x) 大家會很自然地認為畫出來的圖是在x-y平面上的振盪曲線 那如果改成 f(2x)=sin(2x)呢? 答案是圖形會一模一樣~ 因為兩個函數根本是一模一樣的. 這樣作其實有點像是變數變換. 我們作變數變換的時候要仔細看誰才是變數! f(2x)這個函數的變量是2x,所以x軸也會自動變成"2x"軸 一定有人會被搞混,不是說sin函數會被壓縮嗎?但請仔細看那個函數的變量! 被壓縮過的函數其實是f(x)=sin(2x). 回到原題目: Pn'(x)的意思是對"x"變量作為分,也就是d/dx 但是Pn'(-x)的意思是對"-x"的變量作微分,也就是d/d(-x) 你作的那個運算步驟似乎有一點搞混變數了 你真的要做的話就必須要用變數變換喔!(令u=-x,du=-dx,帶入) 以上一點心得分享,歡迎大家的指教! --

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