※ 引述《jinya14 (亂逛)》之銘言： : 其實我有一連串的問題想討論 先拋出最想討論的問一下版眾的看法 : 如果在某點釋放一個自由電子 假設釋放的這個位置有個不準度Δb 這不重要其實 : 只是為了滿足不確定原理 : 然後過了時間T 在距離X外測量到這個自由電子 : 於是我們可以得到動量等於 P = mX/T + mΔb/T : 後面是動量的不準度 : 我的問題是 這個電子的確是以這個動量(速度)以直線一路到達測量的點 : 或是以更快的速度 但走一個奇怪的路徑 例如在路程上畫一個8 最後到達 : 我們測量的點呢? : 假如電子不走直線 那它的額外的方向(速度)改變就需要加速度 那麼是否F=ma並不適用於 : quantum particle? 因為自由粒子在過程中並不受外力 : 在使用路徑積分的時候 我們在計算某個路徑的機率振幅的時候 : 是不是要考慮各種動量的加總? 也就是說過程中粒子的動量也有改變的可能嗎? 首先 我們要知道一個量子系統的演化的話 你會先有個 ^ H (Hamitonian) ^ H是一個算符 他跟我們的時間演化 是友關係的 假設 有顆粒子 在t0時 在q0位置 我們算他在t時候在q的機率振幅是多少 ^ T是時間演化算符 ^ ^ ^ 她是這樣的 T=exp[-iH(t-t0)]=exp[-iHΔT] 所以 我們的振幅就是 ^ <q|T|q0> 再來 就是要切時間間隔了 N 我們知道 Exp[a]= lim (1+a/N) N->∞ ^ 所以這裡的T 我們就先寫成 ^ ^ N T=(1-iHΔT/N) 這邊 我們 就將ΔT/N用ε表示好了 ^ ^ N T=(1-iεH) ------------------------------------ 接下來 將我們的 躍遷振幅帶換進去 ^ <q|T|q0> ^ N =<q|(1-iεH) |q0> ^ ^ ^ =<q|(1-iεH)(1-iεH)......(1-iεH)|q0> ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 有N個 我們現在 利用|q>的基底完備性 將每一個時間間隔中間 都差進去一個 I算符 就是插入這個東西 ∫dqn |qn><qn| 於是 振幅就變成 ^ ^ =∫dq1∫dq2...∫dqn-1 <q|(1-iεH)|qn-1><qn-1|...|q2><q2|(1-iεH)|q1> ^ 這裡 我們有很多個<qk+1|(1-iεH)|qk>這種項 你可以將她用動量去展開 ^ ^ <qk+1|(1-iεH)|qk>=∫pk<qk+1|pm><pm|(1-iεH)|qm> 這邊他等於 = ∫dpm ipm(qm+1-qm)/h_bar --------- e [1-iεH(pm,qm)] 2πh_bar 我們知道<q|p>=exp[iqp/h_bar](2πh_bar) ^ 而<p|H|q>=H(p,q)<p|q> 現在 我們的振幅 就變成 ^ <q|T|q0> = ˙ lim n-1 lim n-1 i/h_bar ∫dt[p q-H(p,q)] N->∞ Π ∫dq(tk) N->∞ Π ∫dq(tk) e ε->0 k=1 ε->0 k=1 這邊我們的積分 不只把所有時間點上的 位置空間都積過一次了連動量空間 也做了全面性的積分 也就是 將粒子的所有"可能"的路徑全積一次了 我們可以將上面簡寫成 ˙ i/h_bar ∫dt[p q-H(p,q)] =∫Dq(t)∫Dp(t)e 這邊的積分是泛函積分 並且 我們只有固定q(t)的兩端點 在比較好的Hamitonian底下 我們可以把p(t)給積掉 將動量部分積掉之後 我們會剩下 ˙ i/h_bar ∫dt[L(q,q)] =∫Dq(t)e *N 這邊 當我們積掉動量的時候 也會將H變成L 那多出來的N 是一個規一化常數 她是多少 我們不管 你可以將他吸收到q(t)裡面 所以 結論是 ˙ ^ i/h_bar ∫dt[L(q,q)] <q|T|q0>~∫Dq(t)e 一個粒子從t0時候在 q0跑到t時刻在 q 就相當於 對以固定兩端點的所有路徑給定一個 iS e 因子的泛函積分 打到這邊好了... --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.68.28 推薦一本書 IINTRODUCTION TO QUANTUM MECHANICS .. SCHRO DINGER EQUATION AND PATH INTEGRAL .. Harald J W Mu ller-Kirsten 這本書全部都用路徑積分來講一些量子力學的問題 是橘色的 你可以去找找看 看看裡面的東西 ※ 編輯: xgcj 來自: 140.113.68.28 (09/05 02:19)