作者JohnMash (Paul)
看板Physics
標題Re: [問題] equation of continuity(連續方程式)
時間Wed Jun 22 18:05:36 2011
※ 引述《ed78617 (雞爪)》之銘言：
: 流力中的incompressible指的是流體密度與位置無關，然後由質量守恒，A1*v1=A2*v2
: 要怎麼對應到電荷守恒呢？
看了各位的討論 我敘述一下我的看法
-----------------------------------------------------------------
Case I.
考慮流體在管內流動
並且假設 管子的截面積=1 管中的流體其總質量不隨時間改變(即 steady state)
則連續方程式 ρ1 v1 = ρ2 v2 (流進質量=流出質量)..............(1)
如果用 J 表示
J1=J2.........................................................(2)
考慮管長為無窮短的情形
d(ρv)=0......................................................(3)
(dρ) v + ρ (dv) = 0.........................................(4)
dJ=0..........................................................(5)
這就是一般情形
推廣到三維 ▽ρ‧v + ρ▽‧v =0................................(6)
▽‧J = 0...........................................(7)
imcompressible fluid ▽ρ=0 then ▽‧v=0.............................(8)
▽‧J = 0..........................................(9)
結論: J 可以是 compressible fluid 也可以是 incompressible fluid
都有 ▽‧J = 0...........................................(10)
--------------------------------------------------------------
Case II.
並且假設 管子的截面積=1 管中的流體其總質量隨時間改變(unsteady)
則連續方程式 ρ1 v1 - ρ2 v2 = Δm/Δt (流進質量-流出質量=管中質量變化)
如果用 J 表示
J1-J2=Δm/Δt..................................................(11)
then
(dρ) v + ρ (dv) = -dρ / dt * dx..............................(12)
dJ= -dρ/dt * dx................................................(13)
這就是一般情形
推廣到三維 ▽ρ‧v + ρ▽‧v =-P ρ / P t (P means partial)....(14)
▽‧J = -P ρ/ P t....................................(15)
-----------------------------------------------------------------
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 112.104.144.24
1F：推 wohtp:你的 case 1 就是 incompressible 啊... 06/23 05:39
2F：→ wohtp:你都假設密度不變了, 還能怎麼壓縮? 06/23 05:40
我大概猜得出你的質疑
假設 管子的截面積=1 管中的流體其總質量不隨時間改變
(1)所以 總體積不變 總質量不變 因此 密度不變?
我的回答是 密度當然可以變 只是平均密度不變
(2)你大概要問 為什麼假設平均密度不隨時間改變?
我的回答是 如果不喜歡這個假設 直接讀 Case II 即可
(3)你大概要問 為什麼可以假設 管子的截面積及體積不變?
我的回答是 其實管子是普物的說法
流力的推導方式是取control volume
control volume 是想像的 並且可依問題的需要選取
還請板上的流力高手 不吝指正
3F：推 wohtp:我的意思是,平均密度不變,而管子縮短到只有一點,就是密度 06/23 12:54
4F：→ wohtp:本身不變啊. 06/23 12:54
5F：→ wohtp:都取極限到管子趨近一個點了,平均密度也就變成該點的密度了 06/23 13:00
管子長為 dx≠0 (變量不為零)..........................(16)
密度變化 dρ≠0 (應變量 in general 不為零)...........(17)
速度變化 dv≠0 (應變量 in general 不為零)............(18)
但是 密度乘以速度變化為零 d(ρv)=0 (連續方程式)......(19)
6F：推 wohtp:您跳針了 = = 我的重點只是: 平均密度不變 + 長度趨近零 = 06/23 15:28
7F：→ wohtp:不可壓縮 這樣子而已 06/23 15:28
8F：→ wohtp:對於其它的部份我一點意見都沒有. 06/23 15:29
9F：→ ntust661:可以考慮一下 Reynold Transpose Theorem 06/23 15:43
我已將所有式子編號 還是請有心人不吝指正
我的推導方式 並沒有引入 material derivative
因為我所取的control volume 是固定在空間中的
CaseI. 是steady的情形 (P ρ/P t)=0 (P means partial)
但是對於是否為compressible均成立
當然 如果流體是incompressible的話(incompressible fluid)
根據定義(P ρ/P t)=(P ρ/P x)=(P ρ/P y)=(P ρ/P z)=0
只需討論Case I.
另外 須注意 incompressible flow 的定義是 ▽‧v =0
由(8)式可知 incompressible fluid 必是 incompressible flow
但是由(14)式可知
▽ρ‧v + ρ▽‧v =-P ρ / P t ....(14)
只要▽ρ‧v + P ρ / P t=0
就是incompressible flow, 不必是 incompressible fluid
※ 編輯: JohnMash 來自: 112.104.170.154 (06/23 21:31)