※ 引述《Thomaser (長恨歌不錯聽啊)》之銘言： : 所以若一個行星受重力繞恆星運動的話，怎麼推導，可以算出像運動方程式、週期等 : 等其他值呢? 現在要處理的系統處在慣性座標中，質量M的恆星和質量m的行星(two-body problem)。 已知從恆星到行星的距離向量為 r ， ~ .. μ 根據萬有引力，可以推出兩物相對運動的運動方程式：r = - ----- r (證明省略) ~ r^3 ~ 這邊的μ≡G(M+m)≒GM (因為 M >> m ，所以 m 可以被省略) 。 . 又對行星而言，其角動量 h = r ×r = costant vector (角動量守恆) ~ ~ ~ 以下為推導： .. μ μ . r ×h = --- ( h ×r ) = --- [ ( r ×r ) ×r ] ~ ~ r^3 ~ ~ r^3 ~ ~ ~ μ . . = --- [ r ( r．r ) - r ( r．r ) ] r^3 ~ ~ ~ ~ ~ ~ μ . . = --- [ (r^2)r - (rr)r ] r^3 ~ ~ . μ . μr = (--)r - (---)r r ~ r^2 ~ 上式可改寫成 r d . d ~ -- ( r ×h ) = μ -- ( -- ) dt ~ ~ dt r 將上式積分 r . ~ r ×h = μ ( -- ) + C , where C is a constant vector. ~ ~ r ~ ~ 用r去跟上式做內積 ~ r . ~ r．r ×h = r．μ ( -- ) + r．C ~ ~ ~ ~ r ~ ~ ＝＞ h^2 = μr + rC(cosν) , where ν is the angle between C and r . ~ ~ [ (h^2) / μ ] ＝＞ r = --------------- 1 + (C/μ)cosν 跟(在極座標下的)圓錐曲線通式作對照 p r = -------------- 1 + e(cosν) , where p is a constant of the conic called the "semi-latus rectum", and the constant e is called "eccentricity"(離心率). 以恆星為焦點(focus)，則行星軌道可由 e 值決定 e = 0 , 一個圓軌道 e < 1 , 一個橢圓軌道 e = 1 , 一個拋物線軌道 e > 1 , 一支雙曲線軌道 小結： 由萬有引力和數學知識， 可以導出行星繞恆星的軌道，為四種圓錐曲線的其中一種， 再配合觀測得知，行星軌道為橢圓(Kepler's 1st law)。 心情： 有寫錯的地方，希望各位大大指正。 還有如果要導出能量或週期之類的，煩請各位大大補充。 小弟要去睡了，晚安。 參考資料： 1.Fundamentals of astrodynamics (1971) , p.11 ~ p.23 Roger R. Bate,Donald D. Mueller,Jerry E.White -- 當我認為自己什麼都懂時，他們給我學士學位。 當我發現自己其實什麼都不懂時，他們給我碩士學位。 當我發現原來他們也什麼都不懂時，他們給我博士學位。 --

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