作者eldar (0.0)
看板Physics
標題Re: [問題] GZK limit
時間Mon Apr 25 23:30:22 2011
※ 引述《rachel5566 (rachel5566)》之銘言：
: 0
: p + γ → p + π
: 0
: 設質子質量M, π 子質量m, 光子能量ε
: 要發生這個反應的最低質子能量
: Ep > (2Mm + m^2)/4ε (也有看過 Mm/ε)
: 我用能量守恆和動量守恆推不出上面的結果 囧
: 請問有人知道怎麼推嗎?
反應的最低門檻 = 產生的質子和π介子為靜止
並假設 質子和光子是彼此迎面碰撞 (方向相反)，
兩邊的 4-momentum 取平方得 (用(1,-1,-1,-1) convention )
(觀察者座標系) MM + 2 [ Ep ε － (－ p ε) ] = MM + 2Mm + mm (質心座標系)
= MM + 2 Ep ε[ 1 + sqrt( 1- (M/Ep)^2 ) ]
再假設入射質子是相對論性的，入射質子動量 p ~ Ep ( (M/Ep)^2 << 1 ) 得到
4 Ep ε = 2Mm + mm
Ep = (2Mm + m^2)/4ε
得解。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.218.156
1F：推 rachel5566:感謝您 04/26 22:19
2F：推 rachel5566:另外一問: 為什麼用 Ep+ε=M+m 是錯的呢? 04/27 00:20
3F：→ chungweitw: ^^^^^^^^^^^ 04/27 01:54
4F：→ chungweitw: 該寫成 Ep'+ε'=M+m.只在CM frame成立 04/27 01:58
5F：→ chungweitw:4-momentum length 一樣 則表是最後關係式在CMB frame 04/27 01:59
6F：→ chungweitw:也成立. 04/27 02:00
7F：推 rachel5566:不是很懂您的意思!? 04/27 08:29
8F：→ chungweitw:(M+m)^2 = (Ep'+ε')^2. 在 CM frame. 04/27 10:06
9F：→ chungweitw:而 (Ep'+ε')^2 = (Ep +ε) - (v Ep -ε )^2 04/27 10:09
10F：→ chungweitw:現在我們要找的是 Ep, 不是 Ep' 04/27 10:10
11F：→ chungweitw:(Ep'+ε')^2 = (Ep +ε)^2 - (v Ep -ε )^2 04/27 10:10
12F：→ chungweitw: 剛剛少打 ^2 04/27 10:10
13F：推 rachel5566:請問CM frame 是指? 04/27 10:19
14F：→ chungweitw:center of mass 04/27 10:24
15F：→ chungweitw:就是總動量為零的座標系 04/27 10:25
16F：推 rachel5566:Ep+ε=M+m 和 Pp-Pc=0 可以嗎? 04/27 11:02
17F：→ chungweitw:你寫成這樣 就已經是選取 CM frame 了. 04/27 12:09
18F：→ chungweitw:那你去解一下..可以知道ε會很大. 所以不會是CMB frame 04/27 12:10
19F：→ chungweitw:或是你以ε=2.8K << M, m 代入..則 Ep 無解 04/27 12:11
20F：→ chungweitw:也就是這不會發生在 CMB frame 04/27 12:12
21F：推 deepwoody:那請問(v Ep -ε )^2是怎麼來的呀? 04/27 17:38
22F：→ chungweitw:Pp = vEp 04/27 21:11
抱歉 原回文沒寫清楚 修一下
回rachel5566: 如同chungweitw大提到，
文中第一條等式是利用了4-momentum length在任何慣性座標系下都不變的性質，
等式左邊是 在觀察者的座標系， 右邊是在碰撞的質心座標系。
在這裡討論的狀況在觀察者看來是高能質子和低能光子對撞，
由於動量守恆，反應後的質子和π介子不會都是靜止的。
只有在質心座標系之下才會出現兩者都靜止的情況，
這時可用 Ep'+ε'=M+m 和 Pp'-Pc'=0 來解出在 "質心座標"下的質子能量Ep'。
然後還要對Ep'作Lorenz轉換才可得到"觀察者座標"的質子能量Ep。
※ 編輯: eldar 來自: 140.112.218.156 (04/27 21:37)
23F：推 rachel5566:等號左邊是不是多寫了個MM呢? 因為不變量應該是 04/27 22:00
24F：→ rachel5566:2 [ Ep ε － (－ p ε) ] = MM 04/27 22:01
25F：→ eldar:等式左邊是(Pp+Pg)^2 = Pp^2 + 2Pp˙Pg + Pg^2應該沒錯吧? 04/28 23:14
26F：→ chungweitw:Pp^2 = M^2; Pg^2 = 0, 2Pp˙Pg=2 [ Ep ε－(－p ε)] 04/29 01:33
27F：→ chungweitw:Here, Pp and Pg are 4-momenta. 04/29 01:35
28F：推 rachel5566:Pp, Pg 分別是碰撞前質子和光子的四維動量嗎? 04/29 12:57
29F：推 rachel5566:另外 能夠把四維動量展開讓我看一下嗎@@ 04/29 13:01
30F：推 rachel5566:我終於懂了 感謝eldar 和 chungweitw的幫助 04/29 23:50
31F：→ rachel5566:受小弟一拜m(_ _)m 04/29 23:51