作者stevelu (餅乾)
看板Physics
標題[題目] Operator Evolution in Heisenberg picture
時間Mon Apr 4 09:04:43 2011
[領域] (題目相關領域)
量子光學
[來源] (課本習題、考古題、參考書...)
作業
[題目]
一個two-mode nondegenerate parametric amplifier described by
H = i*h_bar*K(a1^+a2^+ - a1a2) 其中a1^+和a2^+的"+"是指dagger
這裡a1, a2分別是兩個mode的field operator, K是實數
求這些operator 的 time evolution
[瓶頸] (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)
在Heisenberg picture 下解這個問題, 利用Heisenberg equation, 得到
[a1, H] = i*h_bar*K*a2^+
[a1^+, H] = i*h_bar*K*a2
[a2, H] = i*h_bar*K*a1^+
[a2^+, H] = i*h_bar*K*a1
=>
d(a1)/dt = Ka2^+ ... (1)
d(a1^+)/dt = Ka2 ... (2)
d(a2)/dt = Ka1^+ ... (3)
d(a2^+)/dt = Ka1 ... (4)
由(2),(3)解a1^+ 和 a2
由(1),(4)解a2^+ 和 a1
結果這四個operator應該都是a(0)*exp(-|K|t)的型式, 選負是要避免blow up
不過這樣的結果會導致 commutator不守恆
我想來想去不知道問題出在哪
有請各位大大幫我解惑, 感謝!
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.43.204.1
1F：推 sunev:(1) (3) 差負號? 04/04 09:31
2F：→ stevelu:不過我再檢查一次好像還是一樣耶? 在(1)裡面，跟a1不 04/04 09:52
3F：→ stevelu:commute的只有a1^+; 在(2)裡面跟a1^+不commute的只有a1,但 04/04 09:52
4F：→ stevelu:a1前面帶一個負號，所以出來結果都是K 而非-K 04/04 09:53
5F：→ stevelu:這樣對嗎? 04/04 09:54
※ 編輯: stevelu 來自: 114.43.204.1 (04/04 09:57)
6F：推 sunev:[a1,a1^/dag]=1 ? 04/04 10:10
7F：→ stevelu:恩對 S大你算出來的結果有多負號嗎? 04/04 12:38
8F：推 sunev:你的式子是對的，但是代initial condition時代錯了 04/06 08:46
9F：→ sunev:最後的解是e^(Kt)和e^(-Kt)的線性組合,去看t=0時的條件 04/06 08:47
10F：→ sunev:而非t->\intfy 的條件 04/06 08:47