※ 引述《xgcj (xgcj)》之銘言： 我再補充、修正一些觀念。 這裡的計算，絕不能視為哥哥的加速度， 會對哥哥所歷經的固有時造成影響的論據。 這對於要了解雙生子問題，是務必要釐清的。 : t0 : t'0=∫√(1-(at/c)^2)dt : 0 這式子，只有當a是constant時才成立。 如果不是，積出來的結果就未必是a的函數。 所以你只是舉了ㄧ個特例去比較，才讓結果看起來，有a是關鍵的錯覺。 其實不然，這裡的特例不具ㄧ般性。 再說何謂有無影響？ 即使考慮a=constant，a的大小固然影響了最後的固有時，卻不能說明什麼。 因為a的大小不同，自然會影響你在各個階段的v的大小， 使得你在弟弟慣性系的同ㄧ段時間裡(或者同ㄧ段距離)， 計算出的哥哥固有時不同。 ㄧ旦速度大於零，就會導致哥哥歷經的固有時，必然小於弟弟的固有時。 從變分學的觀點來說，弟弟的路徑就是四維時空的最長路徑， 所以你走任何其他路線，都只會比弟弟短。這和加速度存在的有無，沒有直接關聯。 而是v的存在就能確定的。 : [2]補充說明 在加速度極大之下 也就是a>>1 : 我們可以忽略下面式子的前兩項 : 4(c/a)sinθ1+2(L2/V) : 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ1)]+2cosθ1*(L2/V) : 於是又回到 : 2(L2/V) : 2cosθ1*(L2/V) : 這個結果上 也就是不用考慮到加速度的效應 : 這個結果化作我們熟悉的形式是 : 2 : 2(L2/V) 和 2*√(1-(V/c))(L2/V) : 也就是在加速度極大之下我們可以忽略加速度對時間的效應 基於前面的說明，加速度對時間沒有效應，不論其多大或小。 真正造成效應的是速度本身。 在每ㄧ小段弟弟的時間內，哥哥歷經的固有時，會直接由速度決定。 類似的結論，對加速度不恆成立。 至於：＂對全程固有時的計算，在加速度極大之下，可忽略加速期間對固有時的貢獻。＂ 這樣的理解，也不是恰當的。 在你舉的例子裡，你要求必須有一段極長的等速度運動期間， 才導致這段期間會成為對全程固有時的主要貢獻。 (如果沒有這段等速度運動，只考慮加速度運動的過程， 不論這個加速度再怎麼大，都不可忽略此期間對總固有時的貢獻。) 類似的結論，在哥哥的加速系中，則不成立。 因為對哥哥而言，等速度運動的期間，弟弟歷經的固有時始終比哥哥要少。 只有在加速期間，弟弟的固有時才會遠大於哥哥的固有時， 以致最後，弟弟歷經的總固有時，還是遠比哥哥大。 因此從哥哥的角度來說，記算弟弟這段加速過程，反而才是對總固有時的主要貢獻。 等速期間提供的貢獻，反而才是可忽略的。 換言之，弟弟的固有時會比哥哥大，哥哥的加速度存在與否，扮演了關鍵的角色。 如果沒有因加速座標引起的等效重力場，弟弟歷經的固有時，不可能比哥哥長。 (不論弟弟對哥哥有無加速) 所以對固有時的影響，主要是看你在這個座標系中， 所要計算的質點速度，以及這個座標系中，是否存在等效重力場。 而與你所要計算的質點有無加速度，無必然關係。 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.218.89 當然，簡化模型是我們解題常用的技巧。 但也可能因為我們使用不恰當的簡化步驟，而忽略掉問題的本質。 其實我在之前的文章中有提過。 在平直時空裡，既然沒有重力，你換了ㄧ個座標，重力也不會跑出來。 所以等效重力就真的只是而已，完全類似座標變換時，會產生的假想力。 但有假想力的存在，不表示有力源存在。 所以這就和牛頓力學中處理假想力是類似的。 你可以完全不需要知道實際力造成的影響。 只要去考慮座標變換會發生的事即可。 那座標變換的例子我說過了，在弟弟的慣性系中， 由於整個電梯在加速，所以船頭發出的光到達船尾時， 以經不再是如同相對靜止時，所接收到的頻率，而是必須考慮到都卜勒效應。 但是船尾自身發出的光，對於船尾的哥哥始終是相對靜止， 所以頻率不會有變。這就造成哥哥會認為船頭和船尾的時間走速不同。 用牛頓力學中定義的等加速度運動， 你可以出略的推導出等效重力造成的時間膨脹(或收縮)公式。 如果要更ㄧ般性地考慮，就是固有加速度恒定， 而這裡也能很明顯的看出，哥哥會發現一些不尋常的事， 比如靜止不動的弟弟，時間居然沒有流逝，這不應該是慣性系中會有的結論。 那基於愛因斯坦的等效原理，你可以把它用到真正有重力的情形裡。 如果你有興趣，可以參考Hartle的Gravity，裡面用了ㄧ個簡單方法， 推導了重力造成的時間效應近似公式。 只有和哥哥在同一位置的鐘，頻率不變。 船頭的鐘傳遞過來的光頻率，還是會變。 這從光都卜勒效應就可以理解，當你和光源相對靜止時接收到的頻率， 與你和光源有相對速度時接收到的頻率不會ㄧ樣。 好比加速中火車，每個車廂都綁上一個相同頻率的發聲器， 每個車廂的乘客都不會覺得自己身上的發聲器頻率有變化。 但是卻會覺得其他車廂傳來的頻率，和自己的頻率不同。 你的問題是？ p.s. 真驚訝，這作者的講義寫的異常詳細， 想不到國外教授對教學如此用心。 即使市面上的教科書，也很少有這麼詳細的， 特別是在狹義相對論談加速系的部份。 建議重新起個標題探討加速系，比較方便點。 在狹相中，均勻加速系就是指，任ㄧ瞬間， 加速物體的瞬間相對靜止慣性系(簡稱MCRF)上，感受到的加速度都相同。 這樣的加速系，即是Rindler Space。 你說的沒錯，地面上的慣性系觀察者，會覺得均勻加速的物體，其加速度越來越小。 但是4-acceleration的大小，卻恆定。 我先前在文中介紹的，就是這種加速運動。運動方程解出來， 在慣性系的時空圖中會是ㄧ條雙曲線。 ※ 編輯: condensed 來自: 140.112.218.89 (12/04 18:39) 想不到這類文章居然如此之多，而且竟然都是近十年內的， 我以為這類主題起碼三、五十年前，就被寫爛了。 其實你應該具體說明一下第幾頁第幾行的哪個步驟， 另外就是，Hartle、Carroll、Rindler這些書都有推導重力對時間的效應公式， 應該先看一下，因為都蠻簡單的。 p.s. 敲式子很累，我比較習慣用文字嘴砲。 我覺得盡量先自己看，再針對不懂的步驟提出來討論，比較有效率。 ※ 編輯: condensed 來自: 140.112.218.89 (12/04 22:58)