作者JohnMash (John)
看板Physics
標題Re: Bessel Function
時間Thu Dec 2 00:58:29 2010
※ 引述《JohnMash (John)》之銘言：
: Bessel Function
: [d^2/dx^2 + (1/x)d/dx + (1-n^2/x^2)]ψ=0
: 當n>0 時
: 有兩個獨立解
: 其中一個在 x=0 時 是有限的
: 另一個在 x=0 是無限大的
: 能否從微分方程中 看出來?
: (請勿用公式解)
把問題重寫一遍
[r^2 d^2/dr^2 + r d/dr + (r^2-α^2)]ψ=0........(1)
當α≧0 時
有兩個獨立解
其中一個在 r=0 時 是有限的
另一個在 r=0 是無限大的
--------------------------------------------------
我的看法是這樣的
當α非整數時
假設 ψ 的 最低次項是 r^c (c不必是整數)
因為 Eq. (1) 是等式 所以左右兩邊 在r的任何次項都要相等
考慮兩邊 r^c 項的係數
c(c-1)+c-α^2=0 因此 c = ±α 分別對應 J_{±α}
故得證
只是 當α=n 是整數時 r^(-n) 會出麻煩
一般是說 將 J_{+α}, J_{-α} 做一個線性組合
再令 α→n 得到 Y_{n}
可是 Y_{n} 的最低次項為何?
一般並無記載 (只知道發散)
我猜是 r^{-n}
不知其他人以為如何?
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◆ From: 112.104.173.144
※ 編輯: JohnMash 來自: 112.104.173.144 (12/02 01:02)
1F：推 xwan227770:麻煩點在n是整數時 那個J_(n)和J_(-n) 12/05 00:23
2F：→ xwan227770:會變成線性相依 12/05 00:23
3F：→ xwan227770:Y的話 其實要得到 可以從Wornskin出發 12/05 00:23
4F：→ xwan227770:總之 我還是搞不懂你的問題 12/05 00:27
5F：→ xwan227770:你是想問說紐曼函數的原點是幾階pole嗎? 12/05 00:28
6F：→ xwan227770:如果你要問這個的話 12/05 00:31
7F：→ xwan227770:在原點的紐曼函數我印象中應該是比較像ln(x) 12/05 00:31
8F：→ xwan227770:所以 基本上你的猜測是有問題的 12/05 00:32
9F：→ xwan227770:簡單來說就是那一點是無窮多階的pole 12/05 00:32
10F：→ xwan227770:總之建議你去翻特殊函數表 找x接近零時 Y的近似函數 12/05 00:33
11F：→ xwan227770:應該沒意外的話是ln(x) 12/05 00:33
13F：→ Frobenius:(9式)將非整數v趨近整數n取極限用羅必達可整理得(10式) 12/05 00:46
14F：推 Frobenius:至於(9式)怎麼來的則是由Wronskian出發 12/05 00:52
15F：推 Frobenius:於是Yv(z)由Jv(n)和J-v(z)的線性組合再分別作Wronskian 12/05 01:02
16F：推 Frobenius:就可以找到Yv(z)的Jv(n)和J-v(z)前面的係數 12/05 01:05
17F：推 Frobenius:而是由羅必達法則取極限這關鍵步驟得出㏑(z/2)導致發散 12/05 01:14
18F：→ Frobenius:從(10式)知道Yv(z)的最低次項並不會導致發散 12/05 01:14
19F：→ Frobenius:而是由羅必達法則取極限這關鍵步驟得出㏑(z/2)導致發散 12/05 01:15
感謝兩位的熱心
從 (10) 可知
可能發散項是
x^{-n}, x^{-n+2},....., 及 x^n ln(x) (因為 J_n(x)=x^n+...)
所以
Y0=ln(x)
Y1=x^{-1}
Y2=x^{-2}
..........
是這樣嗎?
※ 編輯: JohnMash 來自: 112.104.129.196 (12/05 10:17)
20F：推 Frobenius:Y0(z)請看(15式) 12/05 11:27
21F：推 Frobenius:z→0時除了Y0純由㏑項造成發散， 12/05 11:37
22F：→ Frobenius:Yn(z) (n≠0) 還多了(10式)第一項求和的最低次項 12/05 11:37
23F：推 Frobenius: 負數次方 12/05 11:40
24F：推 Frobenius:第一項求和的負數次方項之數量為[(n+1)/2] []為高斯符號 12/05 11:43
25F：推 Frobenius:n偶數：負次方有z^(-n),z^(2-n),…,z^(-2)共計(n/2) 個 12/05 12:05
26F：→ Frobenius:n奇數：負次方有z^(-n),z^(2-n),…,z^(-1)共計(n/2)+1個 12/05 12:05
27F：→ Frobenius:n = 0：負次方有 0 個 12/05 12:07
28F：推 Frobenius:又Y-n(z)=(-1)^n Yn(z) 12/05 12:11
29F：→ Frobenius:故只討論Yn(z)在n為非負整數的情況 12/05 12:15
30F：→ Frobenius:總和造成發散的原因：㏑項、[(n+1)/2]個負數次方項 12/05 12:17