※ 引述《milkcake (光良的星星)》之銘言： : 最近讀到薛丁格這邊 : 有個地方不太了解，就是書上說 : 真實的物理可接受的波函數滿足 : φ ( ±∞) = 0 : φ'( ±∞) = 0 : φ"( ±∞) = 0 : ∞ 2 : 即φ必須平方可積，∫ |φ| dx 有值 : -∞ : 我想問的是，第一個式子就是代表波函數在 ±∞必須 = 0，這我可以理解 : 可是為什麼還要特別強調一次微分跟二次微分要等於零呢? : 我是用速度跟加速度去想，在 ±∞ 沒有東西，所以加速度跟速度等於零 : 請問這樣對嗎?還是波函數的一次微分跟二次微分有其他物理意義? 我想直接回答這個 的確是有物理意義 當你之後算 動量的expect value: <p>= -ih∫φφ'dx 這時候你就必須要求一次微分在無窮遠處為零 能量的expect value:這次就變成要算二次微分了 當然這只是數學上的理由 物理上的解釋 並不是因為在正負無窮遠處 速度為零 (不講加速度是因為 能量的二次微分是從動量平方來的 跟加速度沒什麼關係) 而是 "我們所討論的力學變量必須是實的線性算符,也就是必須是Hermitian operator"(註) 為了滿足這個條件 就必須讓波函數、一階微分、二階微分在無窮遠處為零 原PO可以去檢驗p是不是Hermitian (根據17224 nittakuball版友的說法 應該說是self-adjoint) 你會用到的有:1.p=-ih(σ/σx) 對不起我打不出partial的符號 只好用σ代替 2.所謂Hermitian是指: 若 ∫(ψ*)Aφdx=∫(Aψ)*φdx (積分範圍正負無窮遠) 則 A 稱為 Hermitian operator 3.Integral by part 也可以試試能量的部分 註:Dirac的《量子力學》原理是一本好書，與幾何原本同為經典 原PO有興趣可以參考參考 Dirac在書中是這麼講的 "當我們作一次觀察時，我們就是測量某個力學變量。從物理上看來 ，這樣的測量結果顯然必須是實數，所以我們期望，我們能測量的 任意力學變量必須是實的力學變量。有人也可能認為，他能測量一 個複數的力學變量，方法是分別測量它的實部與虛部。但這一來就 會引起了兩次測量，或者兩次觀察，這在古典力學是沒有問題的， 而在量子力學中卻是不行的，一般來說，兩次觀察要互相干涉.....(略) 因此，我們必須把我們能測量的力學變量限制為實的。" Dirac對這件事的觀點比較放在觀測上，但我對這個觀點有點疑問: 那如果一個力學變量是複數變量只要觀察量是實算符且實部觀察量 和虛部觀察量互相commute，那就解決兩次觀察的問題了 (這裡力學變量和觀察量的定義為: 力學變量是大自然在演化時真正的量； 而觀察量是我們去做觀測這個動作得到的量) 用個最簡單的例子: 動量算符Px、Py互相commute,如果真正的力學變量為P=Px+iPy P|px'+py'> = (px'+py')|px'+py'> 當我去觀測時就會得到 Px|px'+py'> = px' |px'+py'> Py|px'+py'> = py' |px'+py'> 這樣就可以測到力學變量的實虛部 不過，用動量來說，我總可以將一個複數的力學變量拆成兩個實的力學變量 總結來說，Dirac支持"力學變量=可觀測量"，所以主張力學變量是實的 但如果要說"力學變量的實虛部是兩個互相commute的可觀測量" 我想這也不會造成任何的困窘 : 還有就是那三式跟 "即φ必須平方可積" 的關聯性是什麼? : 那個積分式不是代表機率的意思嗎?那跟上面那幾個式子到底有什麼關係 : 為啥課本還要用 "即" 這個字 : 謝謝 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.116.134.137 ※ 編輯: enunion 來自: 140.116.134.137 (10/17 18:15) 不懂您的意思 因為Px和Py commute那麼他們的Hilbert basis 自然可以直積 而P就是定義在Px和Py直積後的Hilbert空間裡 Free partical energy就會變成 H=(P*P)/2m=(Px^2+Py^2)/2m 和原本的一樣 不過這沒什麼意義 因為我是用x動量和y動量去組 主要是因為Px和Py 已知commute 但在三維空間裡還有Py 所以很明顯的P不可能只是Px和Py的函數 我所論述的重點在於 力學變量有可能是由兩個可觀察量分別在實虛部組成的 (而這兩個可觀察量除了互相commute外 在我們所討論的空間裡 不允許再出現其它與這兩個同質且commute的可觀察量 這是xwan227770所提供的限制 謝謝^^) 因為我在三維空間(甚至四維時空)想不出有什麼量是符合這個條件 所以才用Px和Py來說明 至少他們在二維空間滿足條件 突然想到:Spin 算不算 它好像符合耶 =.= ※ 編輯: enunion 來自: 140.116.134.137 (10/17 19:00) 不 我認為力學量是複數 可觀測量是實數 物理學家要求(應該說假設 比較洽當)的是"力學量=可觀察量" nightkid所認為的就是現在一般所認同的 "力學變量=可觀察量" 所以Dirac才會說力學變量一定要實數 可是 我認為"力學變量不一定要等於可觀察量" 也就是說大自然在運行時是以力學變量演化 但我們去觀察時觀測的是可觀測量 用我原本的例子說明 就是 大自然演變時是以P在動 但當人類去觀測時只能分別觀測到Px和Py 不可能直接觀察到P ※ 編輯: enunion 來自: 140.116.134.137 (10/17 19:08) 對這個問題 想起Dirac所說的"複數的線性算符並不能利用相加減和乘除來拆成實部和虛部 因此我們應該稱之複量" 我想我的例子犯了這個錯誤 P不能直接寫成Px+iPy 最多我只能寫成P(Px,Py) 他們之間的聯繫不是加減乘除 而是我們所未知的連結法 (這樣講好詐XD) ※ 編輯: enunion 來自: 140.116.134.137 (10/17 19:27) ※ 編輯: enunion 來自: 140.116.134.137 (10/17 23:34) ※ 編輯: enunion 來自: 140.116.134.137 (10/17 23:36) ※ 編輯: enunion 來自: 140.116.91.195 (10/19 10:14)