作者ojohn72 (國慶煙火真好看)
看板Physics
標題Re: [題目]相對論的問題
時間Sat Oct 16 09:55:36 2010
※ 引述《lxy351 (popoli)》之銘言：
: 請證明space-time four vector 在勞倫茲轉換下 其長度是不變量
: 請說明古典物理所以會想到超距力如地心引力的根據
: 第一題一點頭緒都沒有.. 第二題有去GOOLE但感覺都講得很複雜 不
: 不知道有沒有比較清楚的講法 謝謝
不好意思 小弟現醜了~
前一篇推文有提到
http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation
小弟就用網址裡的勞倫茲轉換來解第一題
t'=γ(t-vx/c2)
x'=γ(x-vt)
y'=y
z'=z
其中γ=1/√(1-v2/c2)
space-time four vector 在勞倫茲轉換下 其長度是不變量~ 轉成數學式就是要證明
x'2 + y'2 + z'2 - (ct)2 = x2 + y2 + z2 - (ct)2
左式很OK 直接抄下來就是x'2 + y'2 + z'2 - (ct)2
右式比較麻煩的是x跟t~
先平方以後變成
γ2(x-vt)2-γ2c2(t-vx/c2)2
γ2展開後變成1/(1-v2/c2) 上下同乘c2變成c2/(c2-v2) 把γ2提出來 先不理他
c2乘入(t-vc/c2)2之後式子變成
(x-vt)2-(ct-vx/c)2
代入a2-b2 = (a+b)(a-b)公式
(x-vt+ct-vx/c)(x-vt-ct+vx/c)
左邊括號中把x/c與t分別提出來 右邊括號中把x/c與-t分別提出來
(t(c-v)+x/c(c-v))(-t(c+v)+x/c(c+v))
(x/c+t)(c-v)(x/c-t)(c+v)
再帶入a2-b2 = (a+b)(a-b)公式
(x/c+t)(x/c-t)變成x2/c2-t2 (c+v)(c-v)變成c2-v2
這時把展開後的γ2 =c2/(c2-v2)乘進來
c2-v2消掉 c2 * (x2/c2-t2) = x2 - (ct)2
最後把y2 + z2也寫進來 得到x2 + y2 + z2 - (ct)2 QED.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.168.75.138
1F：推 HDT:我真的好佩服肯用PTT寫數學式的人 10/16 10:55
2F：→ ojohn72:抱歉有幾個錯誤 左式(ct)2 是 (ct')2 10/16 15:43
3F：→ ojohn72:還有因為是距離 所以應該改成(x1-x2) 與(x1'-x2')的格式 10/16 15:44
4F：→ ojohn72:也就是證明(Δx)'2+(Δy)'2+(Δz)'2-(cΔt')2 10/16 15:46
5F：→ ojohn72:=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2-(cΔt)2 10/16 15:47
6F：→ ojohn72:但是計算過程一樣 只不過所有的xyzt與x'y'z't'前面多加Δ 10/16 15:48
7F：→ mouwat:其實還好 考慮向量平移設起始點為原點就可以了 10/16 19:05
8F：→ ojohn72:請愛用數學式XD 10/17 11:46
9F：→ ojohn72:也對XD沒想到 不過如果考慮一般狀況 Δ是比較嚴謹的做法 10/17 11:48
10F：→ mouwat:這篇內容勾起一點相對論的回憶 10/17 12:18
11F：→ mouwat:讓我想到lorentz transform的矩陣表示 10/17 12:19
12F：→ mouwat:若這矩陣為U 計算U+=U-1就可以用unitary transform後長度 10/17 12:22
13F：→ mouwat:不變說明了 10/17 12:22
14F：→ ojohn72:原來還有矩陣解法XD 不過初等代數解我覺得比較平易近人XD 10/17 16:00
15F：推 lxy351:謝謝大家的回覆 10/18 00:11
19F：→ sneak: //muxiv.com 01/02 14:33