※ 引述《dhtsai (tsai dzeng-han)》之銘言： : ※ 引述《zizoids (阿G)》之銘言： : : → dhtsai:Carter只有一個地方交代不清:黑體輻射係數:Pi^4/90 07/31 23:14 : : → dhtsai:是怎麼推出來的 07/31 23:15 : : 我沒有那本書...不過我猜你是說這個... : : http://img508.imageshack.us/i/62402882.jpg/ : 對 : 就是你寫的最後一步 Zeta(4)=pi^4/90 怎麼導出來的 : 是導出來的還是 查表查出來的? : 因為翻過的資料還沒有找到是怎麼導出來的 (查表查出來的就不必了) : 可以的話請高手指示方向 [sin(πx)/πx]*[sin(iπx)/(iπx)] =[1-[(πx)^2]/6+[(πx)^4]/120-...]*[1+[(πx)^2]/6+[(πx)^4]/120+...] =1-(1/36-1/120/1/120)[(πx)^4]+... =1-(π^4/90)x^4+... =[1-x/1][1+x/1][1-x/2][1+x/2][1-x/3][1+x/3]...(根與係數) *[1-ix/1][1+ix/1][1-ix/2][1+ix/2][1-ix/3] =[1-(x/1)^2][1-(x/2)^2][1-(x/3)^2]... *[1+(x/1)^2][1+(x/2)^2][1+(x/3)^2]... =[1-(x/1)^4][1-(x/2)^4][1-(x/3)^4]... =1-[1/1^4+1/2^4+1/3^4+1/4^4+1/5^4+1/6^4+...]x^4+... 比較細數後可得1/1^4+1/2^4+1/3^4+1/4^4+...=π^4/90 來推廣一下 ζ(2n)=1/1^(2n)+1/2^(2n)+1/3^(2n)+1/4^2n+... 其實他應該會等於 1/(2n!)*d/dx{[sin(ωπx)/(ωπx)][sin(ω^2πx)/(ω^2πx)][sin(ω^3πx)/ω^3πx] ....[sin(ω^nπx)/(ω^nπx)]}|x=1 [ω^2n=1] 也就是ζ(2n)=-1/(2n!)*d/dx{[sin(ωπx)/(ωπx)][sin(ω^2πx)/(ω^2πx) ][sin(ω^3πx)/ω^3πx]....[sin(ω^nπx)/(ω^nπx)]}|x=1 一起來看看 sin(ωπx)/ωπx=[1-(ωx)/1][1+(ωπ)/1][1-(ωx)/2][1+(ωx)/2]... =[1-(ωx/1)^2][1-(ωx/2)^2][1-(ωx/3)^2]... sin(ω^1πx)/(1ω^1πx) =[1-(ω^2)(x/1)^2][1-(ω^2)(x/2)^2][1-(ω^2)(x/3)^2]... sin(ω^2πx)/(ω^2πx) =[1-(ω^4)(x/1)^2][1-(ω^4)(x/2)^4][1-(ω^4)(x/3)^4]... sin(ω^3πx)/(ω^3πx) =[1-(ω^6)(x/1)^2][1-(ω^6)(x/2)^2][1-(ω^6)(x/3)^2]... . . . sin(ω^nπx)/(ω^nπx) =[1-(ω^2n)(x/1)^2][1-(ω^2n)(x/2)^2][1-(ω^2n)(x/3)^2]... 全部乘起來 左式 =[1-(x/1)^2n][1-(x/2)^2n][1-(x/2)^3n]... =1-[1/(1^2n)+1/(2^2n)+1/(3^2n)+1/(4^2n)+...]x^2n+... 第二項係數就是ζ(2n)了... -- ◆ From: 220.131.45.75 --

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