作者alenbe (生活)
看板Physics
標題[題目] 2009奧物複選 高空彈跳問題
時間Tue Jul 6 13:09:04 2010
[領域] (題目相關領域)
力學
[來源] (課本習題、考古題、參考書...)
奧物考古題
[題目]
設一高空彈跳繩在拉伸時滿足
F/A = Y*(L-L0)/L0
其中 A 與 L 為橡膠繩以張力 F 作用時，拉伸後的平衡截面積與長度
而 A0 與 L0 為未拉伸前的自然截面積與長度
Y 為該材料的楊氏係數
假設在拉伸時，材料密度ρ不變，即滿足 A0*L0 = A*L
(注意，必須考慮彈跳繩的質量，彈跳繩總質量為M)
已知條件如上
有一小題問到，若橡膠繩下端掛一重物質量m，並達到平衡後
使此重物在其平衡位置上下作小幅度振盪
不考慮摩擦力或阻力，則其週期為何？
[瓶頸] (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)
在參考解答中，有一個近似的過程，我不知道如何得到
他假設振盪時，繩子的下端點與物體的移動速率為 dε/dt
(其中ε為物體偏離其平衡位置的位移)
而繩子本身也跟著震盪，但繩上各點振盪速率不同，各點速率"近似"如下
V(ξ) = (ξ/L1)*(dε/dt)
ξ為繩子上某一點，距離上端固定點的長度
L1為下端掛一重物質量m，平衡時的繩長
由上式可以知道，他假設繩上各點振盪速率
與距離上端固定點的長度ξ成正比
所以最低點速率 = (dε/dt)，最高點速率 = 0
而中間的部份，由上而下呈現"線性增加"？？？
我覺得奇怪的原因是，若考慮繩重
繩子上端的張力，會比下端的張力來的大
也就是說，上端會比下端更"緊繃"
若使下端重物做小幅度的振盪，但此時繩上各點張力並不相等
所以並非"各小段"的伸縮量都相等
也就是說，此彈跳繩並非"均勻地"伸長
若非均勻地伸縮，為何可以近似假設
繩上各點振盪速率，由上而下呈現"線性增加"呢？
請教各位前輩
謝謝～
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◆ From: 163.27.14.60
1F：推 a80481ivan:會不會是F=kX 改變量ΔF/Δt=kΔX/Δt=kV 07/06 13:43
2F：→ a80481ivan:就是說不是均勻的伸長 但是改變量是均勻的?! 07/06 13:44
3F：→ a80481ivan:第一航有點錯誤X是位移 所以最後應該是速度的變化量 07/06 13:50
4F：→ a80481ivan:所以這樣應該就對了 重量的改變量是均勻的 速度改變量 07/06 13:51
5F：→ a80481ivan:也是均勻的~ 07/06 13:51
6F：→ alenbe:但是就像我上面指出的，各小段"緊繃"的程度不一樣，所以k值 07/06 14:30
7F：→ alenbe:各小段都不相同，依題目的條件，此彈跳繩的k值，與伸縮量有 07/06 14:31
8F：→ alenbe:關喔~ 如果是a大的說法，則是假設各段的ｋ值都相等才成立 07/06 14:32
9F：→ alenbe:原本我也是像a大的想法一樣，但是越想越不對... 07/06 14:34
10F：→ a80481ivan:喔?~K值跟甚麼有關?為什麼與伸長量有關? 07/06 14:38
11F：→ alenbe:由題目條件 F/A = Y*(L-L0)/L0 可推 F=k*△x 的 k 並非定值 07/06 15:01
12F：→ a80481ivan:?不是定值嗎?K=A*Y/L0 有哪個室變數壓?? 07/06 15:07
13F：→ alenbe:截面積 A 會隨著拉長而變細，所以不可以當成定值喔！ 07/06 15:11
14F：推 a80481ivan:唷~A會變耶QQ 07/06 15:11
15F：→ a80481ivan:她的解答的這個寫法應該也只是近似吧!實際上好像不會是 07/06 15:21
16F：→ a80481ivan:線性減少~ 07/06 15:22
17F：推 a80481ivan:啊!會不會是她說這瞬間的情況?瞬間A不變 速度線性遞減 07/06 15:29
18F：→ k0185123:這題我去解..麻煩的微分方程，放棄了..= = 07/12 00:53
19F：→ k0185123:應該是我哪裡算錯（嘆 07/12 00:53
20F：→ k0185123:我的做法是..把A換為AoLo/L.. 07/12 00:54
21F：→ k0185123:往下拉dx之後放手,ΣF = F(x'+dx)-F(x')=ma;F(x')=mg 07/12 00:55
22F：→ k0185123:a = d^2(x)/d(t)^2 .. x'是因mg而使彈簧伸長的量 07/12 00:55
23F：→ k0185123:想說再用B.C.去解= = X(0) = X(T) , T即為Ans 07/12 00:56
24F：→ k0185123:但搞不出來 竟然扯到了ln(sec(t)) ; arctan(..) ... 07/12 00:56
25F：→ k0185123:so 放棄 07/12 00:56