作者Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)
看板Physics
標題Re: [請益] 不知道是數學還是物理問題了 = =
時間Tue Apr 27 02:44:07 2010
1F：推 chungweitw:不是很能理解你的作法.04/26 07:25
2F：→ chungweitw:potential 一直都和角度有關. 怎會是定值?04/26 07:26
3F：→ Frobenius:這是比較偏物理的推導 也有較嚴謹的數學作法04/26 07:56
上一篇本來是想用最嚴謹的數學來推導，就是將1/r12用球座標展開
利用下列網址的式(3)
http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonicAdditionTheorem.html
可推出球座標的展開式
http://tinyurl.com/26vpqoe
徑向積分部分就是Slater積分(就是主要計算的部分)，
角度積分部分就是Gaunt 積分，可從下列網址的式(13)
http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html
可再簡化成
http://tinyurl.com/23lmvf2
最嚴謹的計算過程(簡化後)，請看
http://tinyurl.com/268tr7h
甚至還用到Clebsch-Gordan係數，沒學過量力的這部分就不會做了
上述方法用BBS打出來覺得很可怕，幸好計算 s 軌域是特例，可以不用上述方法計算
否則牽涉到其他軌域的計算，只能用球座標展開再去積分才能得出結果
所以上一篇後來覺得用物理意義去解釋會較有趣^^
4F：→ h888512:感謝!!04/26 12:22
5F：推 h888512:我書上的r12是直接用餘弦定理表示 跟theta一起積04/26 12:34
現在我就用跟角度有關的一般計算方法，不加入任何物理意義來計算之
Let ρ1 = (2Z/a) r1 , ρ2 = (2Z/a) r2 , dρ1 = (2Z/a) dr1 , ρ2 = (2Z/a) dr2
r1 = (a/2Z) ρ1 , r2 = (a/2Z) ρ2
________________________ _____________________________
|r1 - r2| = √r1^2 + r2^2 - 2r1r2cosθ = (a/2Z)√ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosθ
2 3 2
dτ = r1 sinθ1 dr1 dθ1 dφ1 = (a/2Z) ρ1 sinθ1 dρ1 dθ1 dφ1
2 3 2
dτ'= r2 sinθ2 dr2 dθ2 dφ2 = (a/2Z) ρ2 sinθ2 dρ2 dθ2 dφ2
(0) 1 Z 3/2 -(Z/a)r1 1 Z 3/2 -(Z/a)r2
Ψ1s^2 (r1,r2) = ---- ( - ) e ---- ( - ) e
√π a √π a
1 Z 3/2 -ρ1 /2 1 Z 3/2 -ρ2 /2
= ---- ( - ) e ---- ( - ) e
√π a √π a
(1) (0)* ^ (0)
E = ∫∫dτdτ' Ψ (r1,r2) H' Ψ (r1,r2)
2
(1) (0) e' (0)
E = ∫∫dτdτ' Ψ1s^2 (r1,r2) ---- Ψ1s^2 (r1,r2)
r12
2 3 2
Z^6 e' -ρ2 2ππ∞ -ρ1 (a/2Z) ρ1 sinθ1 dρ1 dθ1 dφ1
= -------- ∫e dτ' ∫∫∫ e -------------------------------------
π^2 a^6 0 0 0 (a/2Z)√ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosθ
將 r2 固定在 z 軸上，此時 r1 與 r2 的夾角 θ 與 θ1 相同
2 2
Z^3 e' 1 -ρ2 2ππ∞ -ρ1 (2Z/a) ρ1 sinθ1 dρ1 dθ1 dφ1
= -------- -∫e dτ' ∫∫∫ e ----------------------------------
π^2 a^3 8 0 0 0 √ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosθ1
2 2
Z^3 e' 1 Z -ρ2 ∞π -ρ1 d (- cosθ1) ρ1 dρ1
= -------- - -∫e dτ' 2π∫∫ e ---------------------------------
π^2 a^3 4 a 0 0 √ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosθ1
2 2
Z^3 e' 1 Z -ρ2 ∞π -ρ1 d (ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosθ1) ρ1 dρ1
= -------- - -∫e dτ'∫∫ e ----------------------------------- --------
π a^3 2 a 0 0 2 √ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosθ1 ρ1ρ2
2 _______________________________
Z^3 e' 1 Z -ρ2 ∞ -ρ1 √ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosθ1 π 2
= -------- - -∫e dτ'∫ e [ ---------------------------------] ρ1 dρ1
π a^3 2 a 0 ρ1ρ2 0
_____________________________ _______________________
√ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cosπ = √ρ1^2 + ρ2^2 + 2ρ1ρ2 = ρ1 + ρ2
_____________________________ _______________________
√ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 cos 0 = √ρ1^2 + ρ2^2 - 2ρ1ρ2 = |ρ1 - ρ2|
ρ1 = 0 ~ ρ2 => |ρ1 - ρ2| = ρ2 - ρ1
ρ1 = ρ2 ~ ∞ => |ρ1 - ρ2| = ρ1 - ρ2
2
Z^3 e' 1 Z -ρ2 ρ2 -ρ1 (ρ1 + ρ2) - (ρ2 - ρ1) 2
= -------- - -∫e dτ' { ∫ e [ ------------------------- ] ρ1 dρ1
π a^3 2 a 0 ρ1ρ2
∞ -ρ1 (ρ1 + ρ2) - (ρ1 - ρ2) 2
+ ∫ e [ ------------------------- ] ρ1 dρ1 }
ρ2 ρ1ρ2
2
Z^3 e' 1 Z 2ππ∞ -ρ2 3 2
= -------- - - ∫∫∫ e (a/2Z) ρ2 sinθ2 dρ2 dθ2 dφ2
π a^3 2 a 0 0 0
ρ2 -ρ1 2 ρ1 2 ∞ -ρ1 2 ρ2 2
{ ∫ e [ ------- ] ρ1 dρ1 + ∫ e [ ------- ] ρ1 dρ1 }
0 ρ1ρ2 ρ2 ρ1ρ2
2
Z^3 e' Z ∞ -ρ2 3 2
= -------- - 4π∫ e (a/2Z) ρ2
π a^3 a 0
ρ2 -ρ1 1 2 ∞ -ρ1 1 2
[ ∫ e --- ρ1 dρ1 + ∫ e --- ρ1 dρ1 ] dρ2
0 ρ2 ρ2 ρ1
2
e' Z ∞ -ρ2 2 ρ2 -ρ1 1 2 ∞ -ρ1 1 2
= ---- - ∫ e ρ2 [ ∫ e --- ρ1 dρ1 + ∫ e --- ρ1 dρ1 ] dρ2
2 a 0 0 ρ2 ρ2 ρ1
2
e' Z ∞ -ρ2 2 1 ρ2 -ρ1 2 ∞ -ρ1
= ---- - ∫ e ρ2 [ --- ∫ e ρ1 dρ1 + ∫ e ρ1 dρ1 ] dρ2
2 a 0 ρ2 0 ρ2
2
e' Z ∞ -ρ2 2 1 ρ2 -ρ1 2 ∞ -ρ1
= ---- - ∫ e ρ2 --- [ ∫ e ρ1 dρ1 + ρ2 ∫ e ρ1 dρ1 ] dρ2
2 a 0 ρ2 0 ρ2
-----------------------------------------------------------------------------
http://mathworld.wolfram.com/IncompleteGammaFunction.html (1)(2)(3)(5)(8)(9)
k
ρ2 -ρ1 2 -ρ2 2 ρ2
∫ e ρ1 dρ1 = γ(3,ρ2) = 2! ( 1 - e Σ --- )
0 k=0 k!
-ρ2 2 -ρ2 2
= 2 [ 1 - e ( 1 + ρ2 + ρ2 /2 ) ] = 2 - e ( 2 + 2 ρ2 + ρ2 )
k
∞ -ρ1 -ρ2 1 ρ2 -ρ2
∫ e ρ1 dρ1 = Γ(2,ρ2) = 1! e Σ --- = e ( 1 + ρ2 )
ρ2 k=0 k!
ρ2 -ρ1 2 ∞ -ρ1
∫ e ρ1 dρ1 + ρ2 ∫ e ρ1 dρ1
0 ρ2
-ρ2 2 -ρ2
= 2 - e ( 2 + 2 ρ2 + ρ2 ) + ρ2 e ( 1 + ρ2 )
-ρ2 2 -ρ2 2
= 2 - e ( 2 + 2 ρ2 + ρ2 ) + e ( ρ2 + ρ2 )
-ρ2
= 2 - e ( 2 + ρ2 )
-----------------------------------------------------------------------------
2
e' Z ∞ -ρ2 2 1 -ρ2
= ---- - ∫ e ρ2 --- [ 2 - e ( 2 + ρ2 ) ] dρ2
2 a 0 ρ2
2
e' Z ∞ -ρ2 -ρ2
= ---- - ∫ e ρ2 [ 2 - e ( 2 + ρ2 ) ] dρ2
2 a 0
2
e' Z ∞ -ρ2 -2ρ2 -2ρ2 2
= ---- - ∫ ( 2 e ρ2 - 2 e ρ2 - 2 e ρ2 ) dρ2
2 a 0
http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html
2
e' Z 1! 1! 2!
= ---- - [ 2 ------- - 2 ------- - ------- ]
2 a 1^(1+1) 2^(1+1) 2^(2+1)
2 2 2
e' Z 1 1 e' Z 8 2 1 e' Z 5
= ---- - ( 2 - - - - ) = ---- - ( - - - - - ) = ---- - ( - )
2 a 2 4 2 a 4 4 4 2 a 4
2
5 2 Z 5 e Z
= - e' - = - ------ -
8 a 8 4πε0 a
還是得到一樣的結果！
--
電子Dirac 方程式：
[c(α．p) + β m0 c^2 + V( r )]Ψ = i hbar dΨ/dt
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.160.212.42
※ 編輯: Frobenius 來自: 118.160.212.42 (04/27 02:46)
6F：推 harry901:可以容我一拜嗎~ 真是辛苦大工程 04/27 02:46
7F：推 feynman511:還是無法習慣看bbs上的數學..你花多少時間在這上面XD 04/27 02:59
8F：→ Frobenius:這篇花了3小時 不過後半段複製上一篇的 XD 04/27 03:00
9F：→ feynman511:同學好久不見 你時間變多了嗎XD 04/27 03:02
10F：推 hanabiz:推 辛苦了 04/27 03:04
11F：推 nightkid:看看跑快一點可不可以節省時間 04/27 03:23
12F：推 lineagenew:看到就覺得該推= = 04/27 08:54
13F：推 sukeda:推 每次在BBS打數學式都讓我很頭痛 所以也越來越懶的PO文 04/27 09:28
14F：推 caseypie:這篇好可怕.... 04/27 11:14
15F：推 justsaygood:工程浩大....推 04/27 11:59
16F：推 smisfun:史上最強BBS數學教學 04/27 12:42
17F：推 mepass:這.....用word方程式編輯器在貼圖上來也許快一點... 04/27 13:19
18F：→ pedroremorse:看到這種東西我一定會推 04/27 13:19
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20F：→ h888512:這...太強大了 推 04/27 16:15
21F：推 pobm:人怎麼可以這麼好 04/27 16:29
22F：推 aj0938:太強大了XD 04/27 16:35
23F：→ DOOHDLIHC:好長喔XD 04/27 16:40
24F：推 yjn145:推用心 04/27 17:41
25F：推 kuanun:好強大……下次用 LaTeX Code 說不定比較快 04/27 17:55
26F：推 Raymond0710:天阿 04/27 18:11
27F：推 finalpage:這篇太強大了.... 04/27 19:52
28F：推 leo80042:用latex打好在po上來不是比較快嗎Orz 04/27 21:12
29F：→ motoman:用bbs排版軟體也比較快= = 04/28 09:18
30F：推 howj:.... 強! 04/28 10:36
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31F：→ Frobenius:已更新XD 04/28 15:28
32F：推 henrypinge:真有耐性 04/28 21:32
33F：推 andyjy12:拜~~~~ 04/28 21:36
34F：推 h888512:補推 04/28 22:52
35F：推 DDMO:辛苦推一個XD 04/28 23:01