作者LeeSeDol (嘖嘖...)
看板Physics
標題[問題] 請教 Green's Function 用在 PDE 的概念？
時間Thu Jan 28 14:39:00 2010
應該沒問錯版
解 PDE 除了 eigenfunction 的方法, 還可以用 Green's Function
2
ex. ▽ u = Q st. u = f (r) , δu/δn = g (r)
解法就是視 nonhomogeneous term Q 與 boundary conditions 為許多離散點
而這些離散點影響著 u
離散點（ Free Space Green's Function ）定義為：
2
▽ G ( r,r0 ) = delta ( r-r0 )
使用 Green's second identity 可以導出
u (r) =
δG δu
∫ G(r,r0)．Q(r0)．dV(r0) + ∫ [ u(r1)．——(r,r1)
- G(r,r1)——．(r1) ] dS(r1)
V S δn δn
source boundary conditions
而且可求出 G(r) = -1/4π(r-r0), for r =/= r0
----------------------------------------------------------------------------
問題來了, 我們可以觀察出 u 受到 Q 和 BCs 兩者的影響
可是：
2
1) 為何 ▽ G 會 model 成 delta function ,而非 ▽G 或 G
有實際的物理系統可以輔助理解嗎？
可以解釋 G 和 Q 交互作用, u 和 G'作用, G 和 u'
負作用, 三者合起來影響 u 嗎?
2) G 如果是正比 (1/r), 用一維的例子來看, G' 長怎樣呢?
G''又會是delta function 嗎? 原點外的其他點的二階微分不是零啊?
可以用一維空間舉個三者疊加成 u 的例子嗎?
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◆ From: 218.162.224.14
1F：→ kuromu:delta function像是點電荷的感覺? 01/28 17:13
2F：推 qna:點電荷應該很清楚阿 01/28 19:23
3F：→ LeeSeDol:感謝, 那麼 G, G',G''分別是指點電荷哪些物理量呢? 01/28 20:20
4F：→ kuromu:Q像是電荷密度 u像是電位 G像是點電荷造成的電位 ? 01/28 21:13
嗯嗯, 這樣的確解釋了 ∫ G(r,r0)．Q(r0)．dV(r0) 這一項, thank you!
V
δG δu
那麼邊界上 ∫ [ u(r1)．——(r,r1) - G(r,r1)——．(r1) ] dS(r1) 是描述什麼現象?
S δn δn
2
而 ▽ G = delta function 又是什麼, 電位微分兩次 = =?
因為我手邊也沒有這部分進階的書了, 實在很難想像怎麼實際應用去解 PDE
就這個點電荷例子而言, 頭一項其實只是各個點電荷所產生的電位疊加, 其他項例如
boundary condition 都沒派上用場, 不像是平常所見難搞至極的 PDE 惡魔啊~
有沒有人可以分享一下這個式子的入門概念?
※ 編輯: LeeSeDol 來自: 59.114.249.72 (01/28 22:10)