※ 引述《Beachboy (天煞孤星)》之銘言： : 在算一道普物的題目 : 題目是這樣的情況： : 有一向+x的電場E，和一向+y的磁場B ^^^ 我想您的意思應該是+z : 一正電荷q，由原點靜止開始運動。 : 根據分析，此電荷會在xy平面上進行一種稱為擺線的曲線運動。 : 且在最高點時，曲率半徑為當時y座標的兩倍，即r=2y，y為最高點的位置。 : 題目大概就這樣敘述。 : 我想證明曲率半徑那件事，但是想半天無頭緒，想問問看這要怎麼證明？ 軌跡方程式 x = [|E|/(|B|*w)]*[1-cos(w*t)] y = - (|E|/|B|)*t + [|E|/(|B|*w)]*sin(w*t) 其中 w = q*|B|/m ================================================================ proof : 根據Lorentz force m*(δ^2x/δt^2) = q*[|E| + (δy/δt)*|B| .............(a) m*(δ^2y/δt^2) = - q*(δx/δt)*|B| .................(b) (a)式做t的微分.. m*(δ^3x/δt^3) = q*(δ^2y/δt^2)*|B| (b)代入上式 (δ^3x/δt^3) = -(q*|B|/m)^2*(δx/δt) 解得 (δx/δt) = A1*sin(w*t) + A2*cos(w*t) ,其中w = (q*|B|/m)..A1,A2 = constant 代入initial condition..可得 A2 = 0 所以 (δx/δt) = A1*sin(w*t) 上式代入(a)式..可得 (δy/δt) = -|E|/|B| + m*A1*w*cos(w*t)/q*B 代入initial condition..可得 A1 = |E|/|B| 所以 (δx/δt) = (|E|/|B|)*sin(w*t) (δy/δt) = (|E|/|B|)*[-1+cos(w*t)] 對上兩式作t的積分 x = A3 –[|E|/(|B|*w)*cos(w*t) y = A4 - (|E|/|B|)*t + [|E|/(|B|*w)*sin(w*t)] 將initial condition代入..解得 A3 = m*|E|/(q*|B|^2) A4 = 0 所以 x = [m*|E|/(q*|B|^2)]*[1-cos(w*t)] y = - (|E|/|B|)*t + [m*|E|/(q*|B|^2)]*sin(w*t) ===================================================================== 根據題意..最高處為x(max).. x(max) = 2*[|E|/(|B|*w)] 最高處之速度為 (δy/δt) |[x = x(max)] = -2*|E|/|B| 最高處之加速度為 (δx^2/δt^2) |[x = x(max)] = (-|E|*w/|B|) 設曲率半徑為R..則 R |[x = x(max)] = (δy/δt)^2/(δx^2/δt^2) |[x = x(max)] = 4*|E|/(|B|*w) = 2*x(max) ......................得証 --

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