※ 引述《ntust661 (661)》之銘言： : ※ [本文轉錄自 Grad-ProbAsk 看板] : 作者: ntust661 (661) 看板: Grad-ProbAsk : 標題: [理工] [動力學] 自由滑下的鏈條末速度υ : 時間: Wed Nov 25 00:34:57 2009 : 一題動力學的題目(可以利用能量解，或者是加速度積分) : 圖片 : http://www.wretch.cc/album/show.php?i=p882525282&b=1&f=1545443644&p=1 : 題目說明 : : The chain starts from rest with sufficient number of links : handing over the edge to barely initiate motion in overcome friction between : the remainder of the chain and the horizonral supporting suface . : Determine the velocity υ of the chain as the last link leaves the edge. : The coefficient of kinetic friction is μk . : 大概意思就是 : 有一個鏈條，它垂下來的鍊條長度 b 中的質量產生的重力剛好克服了最大靜摩擦力。 : 然後要求當鏈條全部滑下去的瞬間，尾端的速度為多少 ? : 我設 Σ Fy = m ay (a↓為正) : 然後 伸長出來 b 的質量設為 m1 : 上面保留下來的 L - b 質量設為 m2 : m : 我令密度 ρ = ── ， 並且假設它均質。 : L 抱歉 您的解法我刪了 以下是我的解法: 令垂下的部份長 x D_t = d/dt (μ_k) = μ (比較好看) m (D_t)^2 x = ρxg - μρ(L-x)g ==> [ (D_t)^2 - (ρg/m)(1+μ) ] x = -μρLg/m 令 (ρg/m)(1+μ)) = k^2 ( (ρg/m)(1+μ)) > 0 ) x_h = A exp [kt] + B exp [-kt] (homogeneous 解) x_p = μL/(1+μ) x(t) = A exp [kt] + B exp [-kt] + μL/(1+μ) v(t) = dx/dt = A k exp[kt] - B k exp[-kt] 代入initial condition x(0) = b, v(0) = 0 ==> A = B A + B + μL/(1+μ) = b ==> x(t) = 2A cosh[kt] - μL/(1+μ) v(t) = 2A k sinh[kt] 其中 2A = b - μL/(1+μ) 令T時 鏈子完全脫離 ==> x(T) = 2A cosh[kT] - μL/(1+μ) = L ==> cosh[kT] = ( L/( 1 +μ) )/2A 此時的v : v(T) = 2A k sinh[kT] = 2A k ((cosh[kT])^2 - 1)^(1/2) = k (( L/(1+μ) )^2 - (2A)^2 )^(1/2) = k (( L-b )( L(1-μ)/(1+μ) + b ))^(1/2) = ( (ρg/m) (L-b) (L(1-μ)+b(1+μ)) )^(1/2) = ( (g/L) (L-b) (L(1-μ)+b(1+μ)) )^(1/2) -- 從能量解: L 重力作功: ∫ρxg dx = (1/2) ρg(L^2-b^2) b L 摩擦力作功: -∫μρ(L-x)g dx = -μρg[L(L-b)-(1/2)(L^2-b^2)] b = -(1/2)μρg(L-b)^2 E_k = (1/2)mv^2 = (1/2)ρg(L^2-b^2) - (1/2)μρg(L-b)^2 ==> v^2 = (ρg/m)(L-b)[(L+b)-μ(L-b)] = (ρg/m)(L-b)(L(1-μ)+b(1+μ)) 同上 有錯請多指教 --

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