※ 引述《Monsoon (^^)》之銘言： : ※ 引述《Monsoon (^^)》之銘言： : : 請問 球 與 球殼 與 圓 的轉動慣量怎麼推導阿? : : 球：I=2/5 MR^2 : : 球殼：I=2/3 MR^2 : : 圓：I=1/2 MR^2 : : 我不知道積分中要放什麼.... : 請問球殼怎麼推，我還是不會..... : 還有球的我是這樣寫： : r^2 dm = r^2 dρ(4/3)πr^3 可是這樣積出來是(3/5)MR^2 請問哪裡錯了?? : 拜託大家教教我，我很想弄懂 m(_ _)m 想物理問題卡住的時候，不妨想想他背後的物理圖像，對於解題會有很大的幫助。 既然已經知道球的轉動慣量了， 那麼這時其實已經可以完全不用積分得出球殼的結果。 想像把一個半徑為(R+ΔR)的大球挖掉一個共同球心，半徑R的小球。 當ΔR很小的時候，這看起來就像是一個球殼。 假設密度均勻，大小球和球殼的質量分別是 小球質量M1=M1 大球質量M2=M1(R+ΔR)^3/R^3=M1(1+ΔR/R)^3~M1(1+3ΔR/R) 球殼質量=M2-M1~M1*3ΔR/R。 球殼的轉動慣量就是大球的轉動慣量減掉小球的轉動慣量， 也就是說， I=(2/5)M2*(R+ΔR)^2-(2/5)M1*R^2 ~(2/5)M1(1+3ΔR/R)R^2(1+2ΔR/R)-(2/5)M1*R^2 =(2/5)M1R^2(3+2)ΔR/R =2M1RΔR =2/3(M1*3ΔR/R)R^2 =2/3(M2-M1)R^2。 得證 回到積分的問題，積分式不會列，dm不知道要怎麼寫，怎麼辦呢？ 不妨這樣想： 球殼可以拆成一堆同軸的圓環， 這些圓環從側面看像是梯形，從上面看是圓。 當圓環很細的時候，圓環上端和下端的週長幾乎相同， 這個時候它的轉動慣量就很簡單， 因為所有的質點都以相同的距離繞著軸轉，所以轉動慣量就是Mr^2。 所以球殼的轉動慣量就是所有圈圈的轉動慣量相加。 用球心到每個圈圈的線以及共用軸之間的夾角θ去標示， 則每個圈圈的半徑是Rsinθ， 每個圈圈的質量則是M(2πR^2sinθdθ)/4πR^2 上面這個式子要說明一下，圈圈的質量是球殼質量*(圈圈面積)/球殼面積， 圈圈的面積是圓周長*高=(2πRsinθ)(Rdθ) 所以把這些圓環的轉動慣量全部相加就是一個積分： π I=∫ [M(2πR^2sinθdθ)/4πR^2](Rsinθ)^2 0 π =∫ (M/2)R^2(sinθ)^3 dθ 0 =(M/2)R^2*(4/3) =(2/3)MR^2 從物理的圖像，把球殼看成大球減小球，或是一堆圓環加起來， 數學上的對應其實就只是微分和積分而已， 但是從圖像來切入會讓問題生動許多，對於列出正確的式子也幫助非常大。 --

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