作者Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)
看板Physics
標題Re: [物數] Factorial Function
時間Sun Feb 24 23:09:11 2008
Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(zπ)
1F：推 mouwat:beta?複變? 02/24 21:51
2F：推 Linderman:推樓上,應數是變成beta函數在變數變換再做複變積分 02/24 22:23
Γ(z)Γ(1-z)
= Γ(z)Γ(1-z)/Γ(z + 1 - z)
= β(z,1-z)
1 z-1 (1-z)-1 y 1
= ∫ x (1 - x) dx ( let x = ──── , dx = ───── dy )
0 y + 1 (y + 1)^2
z-1
∞ y
= ∫ ─── dy
0 1 + y
z
∞ y
= ∫ ───── dy
0 y (1 + y)
( 請參考 residue theory 中的 integrands with branch points)
z
2πi y
= ─────── Residue[ ───── , - 1 ]
1 - e^(iz2π) y (1 + y)
z
2πi (1 + y) y
= ─────── lim [ ───── ]
1 - e^(iz2π) y→ -1 y (1 + y)
z
2πi y
= ─────── lim [ ─ ]
1 - e^(iz2π) y→ -1 y
z
2πi y
= ─────── lim [ ─ ]
1 - e^(iz2π) y→e^iπ y
izπ
2πi e
= ─────── ───
1 - e^(iz2π) e^iπ
izπ
2πi e
= ─────── ───
1 - e^(iz2π) (-1)
2πi izπ
= ─────── e
e^(iz2π) - 1
2πi
= ──────────
e^(izπ) - e^(-izπ)
π
= ─────────────
[e^(izπ) - e^(-izπ)]/2i
π
= ─────
sin(zπ) #
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◆ From: 140.122.225.109
※ 編輯: Frobenius 來自: 140.122.225.109 (02/24 23:23)
3F：推 Linderman:推F大也太認真唸書和po文了吧@_@ 02/24 23:20
4F：推 Equalmusic:推一下, 不過這可以直接用 Weierstrass Thm 會快一點 02/27 01:07
5F：推 phs:漂亮喔! 厲害!!! 09/08 15:08