http://www.ppaee37.fcu.edu.tw/cie/07.htm 電波工程（蔡慶龍） 7.1 電波工程發展簡史 I. 法拉第之貢獻 圖1 法拉第肖像 經過十年不斷之努力，法拉第於西元1831年發現磁電感應現像，並綜合楞次定理 之實驗結果，提出劃時代之「法拉第定理」，其數學表達式為 (1) (1)式之意義為，時變之磁通會產生感應電動勢。在法拉第之前，科學家們普遍 認為，「電」與「磁」是兩個互相獨立的系統，彼此互相獨立，不會有干涉或耦 合之行為。法拉第之「法拉第定理」卻徹底打破這種錯誤觀念，由(1)式，很明 顯，在「隨時間而變」之前提下，「磁」會產生「電」。其實早在中國北宋時代 ，大科學家沈括就已經發現「磁」生「電」之物理特性，其時間遠較法拉第為早 ，但其貢獻度略遜法拉第一籌，因法拉第已將「磁生電」之定量數學表達式寫出 ，而沈括僅描述「磁生電」之定性特性。 II. 馬克斯威爾之貢獻 圖2 馬克斯威爾肖像 西元1864年，馬克斯威爾以其曠世之才華，綜合前人的實驗結果，並加上自己的 獨到見解，提出馬克斯威爾四大方程式如下 (2) (3) (4) (5) 上述方程組堪稱自有人類以來之最偉大貢獻，其原因如下。其一，馬克斯威爾以 一介數學家，用純理論之方法引入位移電流 ，該項虛擬電流均能完美解釋爾後 一些科學家所做之實驗結果。其二，馬克斯威爾僅僅利用簡單之四個方程式，即 能解釋一切複雜的電磁現象，此項偉大之創舉，千古以來無人能出其右。其三， 馬克斯威爾所推導之波動方程式，經赫茲於西元1888年，以精密的實驗證實電磁 波之存在後，為人類開創一個徹底改變生活形態的領域，無論無線通訊、有線通 訊、半導體工程、光電工程、電力工程、甚至於電子電路，其基本方程式均為馬 克斯威爾所貢獻。 7.2 電波學程基礎數學概論 電波工程之應用極其廣泛，然而，越是應用廣泛的學問，其背後之理論基礎往往 越是精深博大，電波工程當然不會例外。對大學部之學生而言，電波工程所需之 數學基礎計有以下數項。 I. 向量分析 向量分析(vector analysis)是電磁場理論中最常利用到也是最重要的數學工具 之一。電磁場本身就是一種向量場(vector field)，其四大基本量 (電場)、 ( 磁場)、 (電通量密度)、 (磁通量密度)所須滿足的馬克斯威爾方程式(Maxwell equations)即為此四個向量函數所須滿足的微分方程組(differential equations)或積分方程組(integral equations)。因此，在正式進入電波工程的 研習之前，同學有必要對各種向量運算、基本定理與常使用的座標系做一深入且 透徹之研讀。 II. 線性代數 馬克斯威爾所發展出來的四大方程組，從數學的觀點來看，即為線性偏微分方程 組，若要能徹底掌握向量場之間的線性運算，則非「線性代數」這個強力數學工 具莫屬。但大學部的學生修習此門課往往覺得課程過於抽象。因此筆者建議初學 者，本課程應從從實際電機電子領域出發，強調線性代數在電機電子領域的應用 ，將實際問題抽象化之後，在抽象空間解答問題，並對這些解答賦予深刻的物理 內涵。 III. 傅立葉分析 自然界中，最簡單且特性最佳之函數當推諧波函數(harmonic function)。因此 ，若能將一些不易處理之函數，諸如方波函數、步級函數、delta函數、或其他 任意形狀之函數，利用諧波函數展開，整個問題應能獲得大幅度的簡化。而這些 「展開」與「簡化」的工作，即為傅立葉分析之重點內容。 IV. 偏微分方程式與常微分方程式 眾所周知，電場與磁場所需滿足之馬克斯威爾四大方程式即為線性偏微分方程組 。因此，偏微分方程組的求解在電波領域中佔有極為重要之地位。再者，偏微分 方程式往往利用分離變數法(separation of variable)之技巧，透過該技巧後， 三維的偏微分方程式可以退化成三個常微分方程式，二維的偏微分方程式可以退 化成兩個常微分方程式。因此，對電波學程的學生而言，也必須掌握諸多常微分 方程式的求解技巧。 IV. 相量 從數學的觀點來看，任何週期性的函數均可對其做傅利葉級數展開，將其展開成 各種不同頻率的弦波之和；而非週期性的函數則可以將其寫成傅利葉積分的形式 。也就是說，無論此函數是週期型函數或非週期型函數，我們均可將其分解成各 種單頻波之和。而馬克斯威爾方程式是線性偏微分方程，因此我們只須個別處理 每一個單頻波所造成的解，再將每一個單頻波所對應的解總合起來即可。因此， 為了能充分掌握電磁波之特性，同學必須學好處理單頻弦波的最有利工具─相量 (phasor)，學習如何將其應用在馬克斯威爾方程式之上，以期能獲得數學上的大 幅度簡化。 如前所述，馬克斯威爾四大方程式為時間與空間之偏微分方程組，其四個自變量 為x、y、z與t，由於變數過多，求解不易，因此若能將時間項消掉，問題應能獲 得大幅度的簡化，由此引入相量之定義 (6) 其中 即為向量形式的相量(vector phasor)。相量表示法的最大功能是將一個包 含時間微分項與積分項之方程式轉化為代數方程式。其作法如下，首先，對一個 時間微分項，其相量將乘以 ；其次，對一個時間積分項，其相量將除以 。 IV. 複變函數 提到複變函數，很多同學往往很納悶，真實世界中明明只有實數的參量，對量測 者而言，量測到的參數也均屬實數參數，為什麼會平白無故出現複數之參量呢？ 其答案正因為相量(phasor)之引入。如前所述，引入相量後，其最大的好處在於 ，對時間而言之微分方程式或積分方程式會退化成代數方程式。然而，天底下沒 有白吃的午餐，我們雖然獲得「避開微分方程式」之好處，但是必須付出處理「 複變函數」之代價，這正是我們必須學習複變函數之原因所在。再者，複變函數 之用途不僅限於相量，舉凡無窮積分、奇異積分、圍線積分均可看到複變函數的 應用實例。 7.3 電波學程課程簡介 電波學程相關課程極為眾多，除第二節所述之基礎數學外，筆者僅就較為基礎與 必備者，作重點式的闡述。 I. 電磁學 本課程包含六個學分，堪稱是最重要也是最基礎的學科，對於電波、光電、固態 、通訊等相關學科之學習均相當重要。但是，一般學生在學習電磁學特別是電磁 波的課程中，往往被繁雜的數學所迷惑。本課程的學習要訣為，以最強烈的物理 觀念與直覺去破解繁雜的數學公式所佈下的五里迷霧。本課程從向量分析開始講 起，奠定學生分析電磁場的數學基礎。緊接著論及靜電場、穩態電流、靜電學與 磁電感應，最後以馬克斯威爾方程式作總結。 II. 電磁波 現代電子技術，如通信、廣播、雷達、遙測、微波積體電路與VLSI封裝等等，都 離不開電磁波的發射、傳播與接收。本課程主要目標在於培養學生這方面的基礎 ，可作為學習電波、光電、固態、通訊等相關領域學生的基礎科目。本課程延續 「電磁學」這門先修課程，從馬克斯威爾方程式開始講起，透過波動方程式之論 述與求解，再引出「無線通訊」與「有線通訊」這兩個領域。對「無線通訊」這 個領域而言，主要是「均勻平面波」之探討與求解，並論及天線之發射與接收， 再論及「線性天線」、「二元陣列天線」與「N元陣列天線」。對「有線通訊」 這個領域而言，則是熱鬧異常，計有「同軸傳輸線」、「雙線傳輸線」、「微帶 線」、「矩形金屬波導」、「圓形金屬波導」、「介質波導」與「光纖」等主題 。 III. 數值分析 對大學部的學生而言，學習了相當多的解析方法，諸如工程數學、電路學與電磁 學等，均涉及不少的解析求解。然而，實際踏入工業界或繼續進入研究所深造後 ，才恍然發現，實際上，真實的問題要使用「人工」求解的可能性相當小，大部 分都得求助於「電腦」，此時，數值分析就可以派上相當大的用場。本課程的目 標在於帶領學生從解析的領域跨入數值的領域。透過本課程的學習，可使學生掌 握數值分析與計算數學的基本能力，並為學生在學習更進一步的數值方法，諸如 有限差分法(finite difference method)、有限元素法(finite element method)、邊界元素法(boundary element method)與矩量法(moment method)， 打下良好基礎。 IV. 數值電磁學 在基礎電磁學與電磁波的課程中，教授的內容均是從解析(analytical)的方式求 解問題。但是，在真實世界中，無論是學術界或者是工業界的問題，大多無法用 解析方法獲得，此時就必須訴諸於數值解。本課程闡述電磁場分析中常見的幾種 數值計算方法，介紹必要的數學基礎知識，並從工程應用的角度，闡明各種方法 的基本原理與使用要點。 7.4 幾個熱門的電波領域 自從政府實施「開放天空」之政策以來，通訊領域之發展如火上澆油，一發不可 收拾，學術界所訓練之學生往往不敷業界使用，業界求才若渴，擁有通訊技術之 研發人員，往往是各界爭相爭取之對象。幾個熱門領域如下。 I. 天線設計 一如積體電路之發展軌跡，電波工程的發展亦是朝向「輕薄短小」之目標邁進。 相較於十年前之「黑金剛」手機，現在的手機真可謂個個「短小玲瓏」卻又五臟 俱全。一個有趣的問題請同學先行思考，這幾年來，手機之使用頻率均無變動， 又天線之長度應與波長有關，而天線之長度卻越來越短，請問其理何在？其原因 在於，其實天線之實際長度並無變化，而是目前的手機業者多採「繞式天線」之 設計方式，因此，外型上看來，手機的天線長度好像便短了。當然，天線之設計 並不限於手機，大自「潛水艇通訊」與「衛星通訊」，小至一般收發機之通訊， 均可見到「天線設計」之足跡。 II. RFIC設計 承上所述，手機天線之發展趨勢是「越來越短」，而最後的結果會是如何呢？答 案是「不見了！」。當然天線不是真的不見了，而是整合到手機的電路板之上， 這個工作則是屬於RFIC的研發領域。順帶一提，目前的手機僅能傳遞音訊(如通 話者之聲音)與資料(如通話者之簡訊)。下一個世代的手機系統則能同時傳遞音 訊、資料與視訊。也就是說，通話者能同時聽到對方的聲音，並且看到對方的影 像。當然這個領域還有相當多的困難尚待克服，例如頻寬不夠就是一個亟需解決 之問題。對天線設計與RFIC設計的研發人員而言，必須熟練一些實驗設備，如頻 譜分析儀、高頻訊號產生器、無反射實驗室、電路板蝕刻器等等重要設備。當然 ，最好也能熟悉一些數值軟體，如IE3D、Matlab、Maple與Mathematica等工具。 III. 電磁場論 在電子與電路的領域中，幾乎所有元件均可用雙埠元件之觀點予以近似，但是對 電磁場而言，問題就沒有這麼單純了。其理由在於，相較於電子電路，電磁場所 探討的頻率較高，波長較短，因此不能採用塊狀(lump type)之近似，必須實際 求得每一點之電場與磁場分佈，這就必須求助於「數值電磁」這門學科。做這方 面的研究或研發，除了堅實之電磁理論基礎之外，還需具有數值分析與高等數學 等背景。當然，電波工程除了上述三個熱門領域外，還有諸如「電磁封裝」、「 微波電路」、「衛星通訊」、「散射」等領域，筆者就不多作論述。 7.5 電波工程之應用概論 電波工程之應用極其廣泛，舉凡民生工業或國防工業，在在均能見到電波工程應 用之痕跡，顧慮初學者起見，筆者僅就不需太多理論基礎者作介紹。 I. 電磁爐之應用 電磁爐應是家家戶戶均有之電器設備，其應用原理即為「法拉第定理」，利用時 變的電磁線圈在導體器皿上產生感應電流，再利用此感應電流達到加熱之目的， 而此感應電流與感應電場之關係為 (7) 其中， 為感應電流， 為導電係數(conductivity)， 為感應電場，由(7)可知， 置放食物之器皿的先決要件為，該器皿必須具有導電係數，因此只能選用諸如鐵 製或銅製等器皿，而不能選用木頭材質之器皿。 II. 電波偵測器之應用 近年來，台灣社會瀰漫一股偷拍之歪風，針孔攝影機幾乎無所不在，「璩美 鳳事件」更令國人意識到該問題之嚴重性。因此，如何防範針孔攝影機，是上自 達官要人，下至平民百姓的共同需求。而「電波偵測器」正提供一個有效的解決 方案。說穿了，「電波偵測器」還是應用到「法拉第定理」，其工作原理如下。 當異常電波源存在時，電波偵測器的附近會產生時變的磁通量密度，該時變場會 產生感應電動勢，此感應電動勢再產生感應電流，再利用此感應電流驅動發光二 極體LED(light emitting diode)或陶瓷喇叭以達到預警之目的。 III. 微波爐之應用 微波爐(microwave oven)亦是家家戶戶均有之電器設備，其應用原理即為共 振腔(resonator)。對電機系大學部的課程而言，「選頻器」主要有兩種截然不 同的製造方法。對Mega Hertz之波段而言，往往利用電感器與電容器所組成的LC 電路。然而，對Giga Hertz之波段而言，其波長約略為公分，該長度已小於電感 器與電容器之尺寸，因此無法利用LC電路之設計方法，必須改採共振腔之設計方 式。對微波爐而言，其選用之共振頻率為2.45GHz，該頻率即為水分子之共振頻 率。當微波爐之電波啟動時，食物中的水分子開始共振，利用水分子來回摩擦食 物以達到加熱食物之目的。對傳統之煮食方式而言，乃利用熱對流之方式加熱， 因此，會有加熱不均勻之問題，若是烹煮技巧不佳，往往會有食物表面燒焦，但 內部仍然不熟之嚴重問題。但是，對微波爐而言，由於是利用水分子之共振，而 水分子又在食物內部大體而言是均勻分佈，因此微波爐煮食的最大好處就是「加 熱均勻」。 IV. 反雷達之應用 近年來，很多駕駛人會在座車上裝置反雷達。當然這些行為都是違法的，小 心駕駛，絕不超速，絕不闖紅燈搶黃燈才是平安之道。這裡要跟同學介紹的不過 是它們的原理罷了。反雷達有兩種，第一種只能針對固定式照相，通常業者會在 固定照相機的附近草叢丟置電池，當汽車行駛到附近時就會接收到電波而發出聲 響。但是這類的反雷達偵測不到三角架與警車雷達等訊號，若要收到這些訊號， 則必須使用第二種反雷達，此種反雷達是利用金屬波導管製作的，其原理如下。 一般之偵測系統，如Ka band與Ku band，其頻率約為Giga Hertz，波長約為公分 ，波導管之尺寸也約為公分，當偵測系統之電磁波發出時，車上之反雷達透過波 導管接收到訊號後，再藉由發光二極體或陶瓷喇叭發出警示訊號或聲響。 IV. 其他應用 電波工程之應用五花八門，包羅萬象，當然不是短短數頁所能道盡，筆者於此再 略舉幾項常見之應用。其一，同學應該都有使用噴墨印表機的經驗吧，它就是典 型靜電學的應用，利用電場控制帶電墨汁之行進方向，以達到列印圖形或文字之 目的。其二，形變偵測器。在物體上纏繞金屬絲，當物體因溫度、壓力或其他外 力產生形變後，其電阻值會改變，因此，量測電阻值即可知道是否物體產生形變 。其三，法拉第發電機。此機制利用到法拉第定理，將機械力所產生之機械能轉 換為電能。其四，電力式起重機。應用電力朝向介電常數(dielectric constant)增加方向之特性，外加一個電壓源，即可將物質舉起。其五，磁力式 起重機。應用磁力朝向導磁係數(permeability constant)增加方向之特性，外 加一個電流源，即可將物質舉起。 7.6 習題 1. 請論述法拉第之貢獻。 2. 請論述馬克斯威爾之貢獻。 3. 請寫下法拉第定理，並說明它在工業界的實際應用。 4. 電波學程所需要的基礎數學為何，請論述之。 5. 請說明微波爐之原理。 6. 請設計一個簡單的元件，能夠測量物體之形變。 7. 請說明電磁爐之原理。 8. 金屬波導管的實際應用為何，請論述之。 9. 電子式起重機之原理為何。 10. 天線設計的實際應用領域為何。 參考文獻 [1]. 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