http://www.ppaee37.fcu.edu.tw/cie/07.htm 电波工程（蔡庆龙） 7.1 电波工程发展简史 I. 法拉第之贡献 图1 法拉第肖像 经过十年不断之努力，法拉第於西元1831年发现磁电感应现像，并综合楞次定理 之实验结果，提出划时代之「法拉第定理」，其数学表达式为 (1) (1)式之意义为，时变之磁通会产生感应电动势。在法拉第之前，科学家们普遍 认为，「电」与「磁」是两个互相独立的系统，彼此互相独立，不会有干涉或耦 合之行为。法拉第之「法拉第定理」却彻底打破这种错误观念，由(1)式，很明 显，在「随时间而变」之前提下，「磁」会产生「电」。其实早在中国北宋时代 ，大科学家沈括就已经发现「磁」生「电」之物理特性，其时间远较法拉第为早 ，但其贡献度略逊法拉第一筹，因法拉第已将「磁生电」之定量数学表达式写出 ，而沈括仅描述「磁生电」之定性特性。 II. 马克斯威尔之贡献 图2 马克斯威尔肖像 西元1864年，马克斯威尔以其旷世之才华，综合前人的实验结果，并加上自己的 独到见解，提出马克斯威尔四大方程式如下 (2) (3) (4) (5) 上述方程组堪称自有人类以来之最伟大贡献，其原因如下。其一，马克斯威尔以 一介数学家，用纯理论之方法引入位移电流 ，该项虚拟电流均能完美解释尔後 一些科学家所做之实验结果。其二，马克斯威尔仅仅利用简单之四个方程式，即 能解释一切复杂的电磁现象，此项伟大之创举，千古以来无人能出其右。其三， 马克斯威尔所推导之波动方程式，经赫兹於西元1888年，以精密的实验证实电磁 波之存在後，为人类开创一个彻底改变生活形态的领域，无论无线通讯、有线通 讯、半导体工程、光电工程、电力工程、甚至於电子电路，其基本方程式均为马 克斯威尔所贡献。 7.2 电波学程基础数学概论 电波工程之应用极其广泛，然而，越是应用广泛的学问，其背後之理论基础往往 越是精深博大，电波工程当然不会例外。对大学部之学生而言，电波工程所需之 数学基础计有以下数项。 I. 向量分析 向量分析(vector analysis)是电磁场理论中最常利用到也是最重要的数学工具 之一。电磁场本身就是一种向量场(vector field)，其四大基本量 (电场)、 ( 磁场)、 (电通量密度)、 (磁通量密度)所须满足的马克斯威尔方程式(Maxwell equations)即为此四个向量函数所须满足的微分方程组(differential equations)或积分方程组(integral equations)。因此，在正式进入电波工程的 研习之前，同学有必要对各种向量运算、基本定理与常使用的座标系做一深入且 透彻之研读。 II. 线性代数 马克斯威尔所发展出来的四大方程组，从数学的观点来看，即为线性偏微分方程 组，若要能彻底掌握向量场之间的线性运算，则非「线性代数」这个强力数学工 具莫属。但大学部的学生修习此门课往往觉得课程过於抽象。因此笔者建议初学 者，本课程应从从实际电机电子领域出发，强调线性代数在电机电子领域的应用 ，将实际问题抽象化之後，在抽象空间解答问题，并对这些解答赋予深刻的物理 内涵。 III. 傅立叶分析 自然界中，最简单且特性最佳之函数当推谐波函数(harmonic function)。因此 ，若能将一些不易处理之函数，诸如方波函数、步级函数、delta函数、或其他 任意形状之函数，利用谐波函数展开，整个问题应能获得大幅度的简化。而这些 「展开」与「简化」的工作，即为傅立叶分析之重点内容。 IV. 偏微分方程式与常微分方程式 众所周知，电场与磁场所需满足之马克斯威尔四大方程式即为线性偏微分方程组 。因此，偏微分方程组的求解在电波领域中占有极为重要之地位。再者，偏微分 方程式往往利用分离变数法(separation of variable)之技巧，透过该技巧後， 三维的偏微分方程式可以退化成三个常微分方程式，二维的偏微分方程式可以退 化成两个常微分方程式。因此，对电波学程的学生而言，也必须掌握诸多常微分 方程式的求解技巧。 IV. 相量 从数学的观点来看，任何周期性的函数均可对其做傅利叶级数展开，将其展开成 各种不同频率的弦波之和；而非周期性的函数则可以将其写成傅利叶积分的形式 。也就是说，无论此函数是周期型函数或非周期型函数，我们均可将其分解成各 种单频波之和。而马克斯威尔方程式是线性偏微分方程，因此我们只须个别处理 每一个单频波所造成的解，再将每一个单频波所对应的解总合起来即可。因此， 为了能充分掌握电磁波之特性，同学必须学好处理单频弦波的最有利工具─相量 (phasor)，学习如何将其应用在马克斯威尔方程式之上，以期能获得数学上的大 幅度简化。 如前所述，马克斯威尔四大方程式为时间与空间之偏微分方程组，其四个自变量 为x、y、z与t，由於变数过多，求解不易，因此若能将时间项消掉，问题应能获 得大幅度的简化，由此引入相量之定义 (6) 其中 即为向量形式的相量(vector phasor)。相量表示法的最大功能是将一个包 含时间微分项与积分项之方程式转化为代数方程式。其作法如下，首先，对一个 时间微分项，其相量将乘以 ；其次，对一个时间积分项，其相量将除以 。 IV. 复变函数 提到复变函数，很多同学往往很纳闷，真实世界中明明只有实数的参量，对量测 者而言，量测到的参数也均属实数参数，为什麽会平白无故出现复数之参量呢？ 其答案正因为相量(phasor)之引入。如前所述，引入相量後，其最大的好处在於 ，对时间而言之微分方程式或积分方程式会退化成代数方程式。然而，天底下没 有白吃的午餐，我们虽然获得「避开微分方程式」之好处，但是必须付出处理「 复变函数」之代价，这正是我们必须学习复变函数之原因所在。再者，复变函数 之用途不仅限於相量，举凡无穷积分、奇异积分、围线积分均可看到复变函数的 应用实例。 7.3 电波学程课程简介 电波学程相关课程极为众多，除第二节所述之基础数学外，笔者仅就较为基础与 必备者，作重点式的阐述。 I. 电磁学 本课程包含六个学分，堪称是最重要也是最基础的学科，对於电波、光电、固态 、通讯等相关学科之学习均相当重要。但是，一般学生在学习电磁学特别是电磁 波的课程中，往往被繁杂的数学所迷惑。本课程的学习要诀为，以最强烈的物理 观念与直觉去破解繁杂的数学公式所布下的五里迷雾。本课程从向量分析开始讲 起，奠定学生分析电磁场的数学基础。紧接着论及静电场、稳态电流、静电学与 磁电感应，最後以马克斯威尔方程式作总结。 II. 电磁波 现代电子技术，如通信、广播、雷达、遥测、微波积体电路与VLSI封装等等，都 离不开电磁波的发射、传播与接收。本课程主要目标在於培养学生这方面的基础 ，可作为学习电波、光电、固态、通讯等相关领域学生的基础科目。本课程延续 「电磁学」这门先修课程，从马克斯威尔方程式开始讲起，透过波动方程式之论 述与求解，再引出「无线通讯」与「有线通讯」这两个领域。对「无线通讯」这 个领域而言，主要是「均匀平面波」之探讨与求解，并论及天线之发射与接收， 再论及「线性天线」、「二元阵列天线」与「N元阵列天线」。对「有线通讯」 这个领域而言，则是热闹异常，计有「同轴传输线」、「双线传输线」、「微带 线」、「矩形金属波导」、「圆形金属波导」、「介质波导」与「光纤」等主题 。 III. 数值分析 对大学部的学生而言，学习了相当多的解析方法，诸如工程数学、电路学与电磁 学等，均涉及不少的解析求解。然而，实际踏入工业界或继续进入研究所深造後 ，才恍然发现，实际上，真实的问题要使用「人工」求解的可能性相当小，大部 分都得求助於「电脑」，此时，数值分析就可以派上相当大的用场。本课程的目 标在於带领学生从解析的领域跨入数值的领域。透过本课程的学习，可使学生掌 握数值分析与计算数学的基本能力，并为学生在学习更进一步的数值方法，诸如 有限差分法(finite difference method)、有限元素法(finite element method)、边界元素法(boundary element method)与矩量法(moment method)， 打下良好基础。 IV. 数值电磁学 在基础电磁学与电磁波的课程中，教授的内容均是从解析(analytical)的方式求 解问题。但是，在真实世界中，无论是学术界或者是工业界的问题，大多无法用 解析方法获得，此时就必须诉诸於数值解。本课程阐述电磁场分析中常见的几种 数值计算方法，介绍必要的数学基础知识，并从工程应用的角度，阐明各种方法 的基本原理与使用要点。 7.4 几个热门的电波领域 自从政府实施「开放天空」之政策以来，通讯领域之发展如火上浇油，一发不可 收拾，学术界所训练之学生往往不敷业界使用，业界求才若渴，拥有通讯技术之 研发人员，往往是各界争相争取之对象。几个热门领域如下。 I. 天线设计 一如积体电路之发展轨迹，电波工程的发展亦是朝向「轻薄短小」之目标迈进。 相较於十年前之「黑金刚」手机，现在的手机真可谓个个「短小玲珑」却又五脏 俱全。一个有趣的问题请同学先行思考，这几年来，手机之使用频率均无变动， 又天线之长度应与波长有关，而天线之长度却越来越短，请问其理何在？其原因 在於，其实天线之实际长度并无变化，而是目前的手机业者多采「绕式天线」之 设计方式，因此，外型上看来，手机的天线长度好像便短了。当然，天线之设计 并不限於手机，大自「潜水艇通讯」与「卫星通讯」，小至一般收发机之通讯， 均可见到「天线设计」之足迹。 II. RFIC设计 承上所述，手机天线之发展趋势是「越来越短」，而最後的结果会是如何呢？答 案是「不见了！」。当然天线不是真的不见了，而是整合到手机的电路板之上， 这个工作则是属於RFIC的研发领域。顺带一提，目前的手机仅能传递音讯(如通 话者之声音)与资料(如通话者之简讯)。下一个世代的手机系统则能同时传递音 讯、资料与视讯。也就是说，通话者能同时听到对方的声音，并且看到对方的影 像。当然这个领域还有相当多的困难尚待克服，例如频宽不够就是一个亟需解决 之问题。对天线设计与RFIC设计的研发人员而言，必须熟练一些实验设备，如频 谱分析仪、高频讯号产生器、无反射实验室、电路板蚀刻器等等重要设备。当然 ，最好也能熟悉一些数值软体，如IE3D、Matlab、Maple与Mathematica等工具。 III. 电磁场论 在电子与电路的领域中，几乎所有元件均可用双埠元件之观点予以近似，但是对 电磁场而言，问题就没有这麽单纯了。其理由在於，相较於电子电路，电磁场所 探讨的频率较高，波长较短，因此不能采用块状(lump type)之近似，必须实际 求得每一点之电场与磁场分布，这就必须求助於「数值电磁」这门学科。做这方 面的研究或研发，除了坚实之电磁理论基础之外，还需具有数值分析与高等数学 等背景。当然，电波工程除了上述三个热门领域外，还有诸如「电磁封装」、「 微波电路」、「卫星通讯」、「散射」等领域，笔者就不多作论述。 7.5 电波工程之应用概论 电波工程之应用极其广泛，举凡民生工业或国防工业，在在均能见到电波工程应 用之痕迹，顾虑初学者起见，笔者仅就不需太多理论基础者作介绍。 I. 电磁炉之应用 电磁炉应是家家户户均有之电器设备，其应用原理即为「法拉第定理」，利用时 变的电磁线圈在导体器皿上产生感应电流，再利用此感应电流达到加热之目的， 而此感应电流与感应电场之关系为 (7) 其中， 为感应电流， 为导电系数(conductivity)， 为感应电场，由(7)可知， 置放食物之器皿的先决要件为，该器皿必须具有导电系数，因此只能选用诸如铁 制或铜制等器皿，而不能选用木头材质之器皿。 II. 电波侦测器之应用 近年来，台湾社会弥漫一股偷拍之歪风，针孔摄影机几乎无所不在，「璩美 凤事件」更令国人意识到该问题之严重性。因此，如何防范针孔摄影机，是上自 达官要人，下至平民百姓的共同需求。而「电波侦测器」正提供一个有效的解决 方案。说穿了，「电波侦测器」还是应用到「法拉第定理」，其工作原理如下。 当异常电波源存在时，电波侦测器的附近会产生时变的磁通量密度，该时变场会 产生感应电动势，此感应电动势再产生感应电流，再利用此感应电流驱动发光二 极体LED(light emitting diode)或陶瓷喇叭以达到预警之目的。 III. 微波炉之应用 微波炉(microwave oven)亦是家家户户均有之电器设备，其应用原理即为共 振腔(resonator)。对电机系大学部的课程而言，「选频器」主要有两种截然不 同的制造方法。对Mega Hertz之波段而言，往往利用电感器与电容器所组成的LC 电路。然而，对Giga Hertz之波段而言，其波长约略为公分，该长度已小於电感 器与电容器之尺寸，因此无法利用LC电路之设计方法，必须改采共振腔之设计方 式。对微波炉而言，其选用之共振频率为2.45GHz，该频率即为水分子之共振频 率。当微波炉之电波启动时，食物中的水分子开始共振，利用水分子来回摩擦食 物以达到加热食物之目的。对传统之煮食方式而言，乃利用热对流之方式加热， 因此，会有加热不均匀之问题，若是烹煮技巧不佳，往往会有食物表面烧焦，但 内部仍然不熟之严重问题。但是，对微波炉而言，由於是利用水分子之共振，而 水分子又在食物内部大体而言是均匀分布，因此微波炉煮食的最大好处就是「加 热均匀」。 IV. 反雷达之应用 近年来，很多驾驶人会在座车上装置反雷达。当然这些行为都是违法的，小 心驾驶，绝不超速，绝不闯红灯抢黄灯才是平安之道。这里要跟同学介绍的不过 是它们的原理罢了。反雷达有两种，第一种只能针对固定式照相，通常业者会在 固定照相机的附近草丛丢置电池，当汽车行驶到附近时就会接收到电波而发出声 响。但是这类的反雷达侦测不到三角架与警车雷达等讯号，若要收到这些讯号， 则必须使用第二种反雷达，此种反雷达是利用金属波导管制作的，其原理如下。 一般之侦测系统，如Ka band与Ku band，其频率约为Giga Hertz，波长约为公分 ，波导管之尺寸也约为公分，当侦测系统之电磁波发出时，车上之反雷达透过波 导管接收到讯号後，再藉由发光二极体或陶瓷喇叭发出警示讯号或声响。 IV. 其他应用 电波工程之应用五花八门，包罗万象，当然不是短短数页所能道尽，笔者於此再 略举几项常见之应用。其一，同学应该都有使用喷墨印表机的经验吧，它就是典 型静电学的应用，利用电场控制带电墨汁之行进方向，以达到列印图形或文字之 目的。其二，形变侦测器。在物体上缠绕金属丝，当物体因温度、压力或其他外 力产生形变後，其电阻值会改变，因此，量测电阻值即可知道是否物体产生形变 。其三，法拉第发电机。此机制利用到法拉第定理，将机械力所产生之机械能转 换为电能。其四，电力式起重机。应用电力朝向介电常数(dielectric constant)增加方向之特性，外加一个电压源，即可将物质举起。其五，磁力式 起重机。应用磁力朝向导磁系数(permeability constant)增加方向之特性，外 加一个电流源，即可将物质举起。 7.6 习题 1. 请论述法拉第之贡献。 2. 请论述马克斯威尔之贡献。 3. 请写下法拉第定理，并说明它在工业界的实际应用。 4. 电波学程所需要的基础数学为何，请论述之。 5. 请说明微波炉之原理。 6. 请设计一个简单的元件，能够测量物体之形变。 7. 请说明电磁炉之原理。 8. 金属波导管的实际应用为何，请论述之。 9. 电子式起重机之原理为何。 10. 天线设计的实际应用领域为何。 参考文献 [1]. 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