※ 本文是否可提供臺大同學轉作其他非營利用途？（須保留原作者 ID） （是／否／其他條件）：是 哪一學年度修課： 107-1 ψ 授課教師 (若為多人合授請寫開課教師，以方便收錄) 江衍偉教授 λ 開課系所與授課對象 (是否為必修或通識課 / 內容是否與某些背景相關) 電機所 / 光電所 選修 δ 課程大概內容 1. Finite Dimensional Vector Spaces 2. Function Spaces 3. Integral Equations 4. Differential Operators 5. Calculus of Variations 6. Transform and Spectral Theory 7. Asymptotic Expansions 8. Partial Differential Equations Ω 私心推薦指數(以五分計) ★★★★★ ★★★★★ η 上課用書(影印講義或是指定教科書) Principles of applied mathematics James P. Keener μ 上課方式(投影片、團體討論、老師教學風格) 投影片上課，基本上就是這本書的重點摘要以及教授的學習心得筆記 σ 評分方式(給分甜嗎？是紮實分？) 考試成績算是紮實分？但總成績還沒出來，我也不是很清楚 ρ 考題型式、作業方式 每個章節都有作業，教完該章節後，下週就要交作業。 考題是教授上課都會提示的「必考」題型、作業以及上課 提點的觀念。 考試是 open book，教授一再強調是 open book，因為他 大概也知道如果沒拿書，那基本上幾乎寫不出來。但如果 拿了書，除非有事前做很多準備，看作業與考古題，不然 也不容易在三小時內寫得非常好。他讓你帶「各種」參考 資料。考題某種程度不難，因為都是你找得到的相似題目， 但如果你想追根究底為什麼這題是這樣或那樣解，那在最 初寫作業時真的會花上你數小時也不一定。有時課本也寫 得很跳躍，好像把讀者當天才（暈）。 ω 其它(是否注重出席率？如果為外系選修，需先有什麼基礎較好嗎？老師個性？ 加簽習慣？嚴禁遲到等…) 不重視出席率，第一週好像有9人來修，第二週剩下3人 XDDD 偶爾會有一位教授以前的學生回來旁聽。 基礎：微積分、工程數學、複變函數 複變函數其實沒很多，大概就是要理解什麼是 branch、 branch cut、residue、Cauchy-Goursat theorem、Cauchy-Riemann equations、limit point、analytic。 教授的特色是他非常熱愛數學，而數學的美感大概也是來自於 他本書不是數學系教授，所以他才能夠跟數學在保持一定距離下 去欣賞數學的美 XD （個人解讀啦） 我覺得自己很幸運，能遇到同樣喜歡打破沙鍋問到底的教授。 他從第一堂課就說了貫穿整學期的詞——「連結」。 他希望能夠幫助我們，在短短時間內，將許多抽象數學概念 連結在一起。我印象最深刻的就是，其實整個學期都是在想 辦法將許多數學問題簡化成「請問他的 inverse operator 是啥？」 就如同這本書作者於序言所言 "We shall also make it our goal to reduce problems to those which we already know how to solve"。 畢竟，只要你知道 A^(-1)，那基本上 Ax=B 就可以因為 x=A^(-1)B 而解完了。 而在探討 inverse operator 時，我們會連帶地學到到底何謂 oper- ator，何謂向量空間，尤其是 Hilbert space 是什麼？如何去找到 適當基底來表示某某函數？從這可以連結到，怎麼樣的 Operator 的 特徵函數可以構成L2-norm下的完備基底？因為我們總是要處理微分 方程與積分方程，所以必然會談到微分算子與積分算子，也會提到 所謂的 Kernel，以及從微分算子談到 Dirac delta function 與其 distribution 的解套——畢竟 delta function 根本不算是個 fun- ction (!?)。再來就是 Green's function，這大概是解方程式的必勝 法（我的感覺，我也不太懂）？而對於許多剛好沒有唯一解的問題， 我們也可以用最小平方法來找答案。再來是常見的極值問題，通常都 是針對一個函數，請問極值在哪？但有時變成是有「一堆函數」給你， 請問哪個函數能夠對此積分方程有最大值或最小值？這時變分法就出 現啦！再來是介紹所謂的「算子的頻譜理論」（Spectrum of an Ope- rator），雖然我們之前學過特徵值，但特徵值必定是離散的嗎？會不 會是連續的呢？然後藉此談到許多常見的 delta function 表示式的 由來（Transform pair），可以用複變函數中的 Residue theorem 來找一堆恆等式。而如果你有在接觸數值模擬的話，或許有時會遇到 收斂很慢的級數。例如說我們雖然知道 exp(-100) 差不多是 0，但 如果你有需要將它表示出來，你會發現根本沒辦法用泰勒級數處理： exp(-100) ~ 1 - 100 + (100)^2/2! - (100)^3/3! + - .... 它的震盪實在太大，甚至也看不出來最後會接近零！於是就有所謂的 Asymptotic expansion（漸進展開）的妙招，讓你快速找到近似解。 老師談到這裡時，也分享了當年 Watson 如何用這方法分辨無線電波 到底是沿著地表傳遞還是從天空反射(?)傳遞。 最後是偏微分方程，基於教授的追根究底心態XD 他也很認真講解了 所謂偏微分方程分類規則（橢圓、拋物線、雙曲線）的由來，他讀了非 常多的歷史！以及說明一些解簡單偏微分方程的技巧，像是 charac- teristic method。 教授是一個對數學非常有興趣的人，所以在講這些概念「之前」，他 都會花不少時間交待它的發展歷史，需要它的「動機」等等。而教授 也很清楚其實絕大多數同學們都對數學沒太大興趣，只想學「怎麼用」， 所以他也會「澄清」（？）其實真的「沒什麼用」。他覺得這些東西 實際上在解的時候都用不到，這堂課很多時候只是在說明許多常見技巧 之所以「有用」的背後原理到底是什麼。「知道了，可以讓你用得更 心安理得；但如果你不知道，那也完全沒影響」。而我個人剛好是那種 對許多東西都感到好奇，想知道為什麼可以或不可以的人，所以這堂課 非常符合我的胃口 XD 雖然我自己在準備考試時也很厭世，因為真的滿難的。 Ψ 總結 如果你對一直以來熟悉的工程數學感到困惑，想懂到底什麼是 dirac delta function，想知道特徵值可以幹麻，想知道什麼是基底，想知道 什麼是向量空間等等的，但如果又不想從數學系那扎實學習，那麼你 可以來這堂課。某種意義上來看，這很像是囫圇吞棗地學數學，因為 多數人也沒學過任何數學系的課，所以在看到像是 Riesz Representation theory、compact operator 時，都會一頭霧水，不過如果你認真問教授， 那基本上都還是會有還算滿意可接受的答案。 --

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