※ 引述《puzzlechaos (小翔)》之銘言： : 白學長建議我來這裡Po課業問題,數學庸庸的我於是來試試看,請多包含! : 1.要如何證明 Lim x[1/x] = 1 ? ([ ] 是高斯符號) : x→0 : (重點是如何處理[1/x]吧) : 2.(x>0,n屬於正整數,e是自然對數的底) : 如何証 e^x (意指e的x次方) > 1 + x + (x^2 /2!) + (x^3 /3!) ...+ (x^n /n!) ? : 如何利用上式結果,証明 e^x > x^n ? 我不是很確定 還是班門弄斧一下XD 我把e的定義設為以其為底的指數函數導數不變的數 而因為 e > 1 所以 e^x - 1 > 0, 當 x>0 顯然 e^x-x-1>0 當x>0 (因為上式就是此式的微分式(即f(x) = e^x-x-1的斜率大於零) 且x=0時此式等於零) 接著依此類推(應該可以寫的更嚴謹，用歸納法的樣子) e^x- x^2/2 - x - 1 >0 因為上式就是此式的微分式 而上式恆大於零 . . . 應該就行了(吧?XD) 第二個問題有點怪怪的 我想應該是指x->無限大或者至少是存在夠大的x使其成立吧 因為並非所有x都會成立 ( ex. let n = 100, x = 2 ) 我的想法是 既然給定了n是某常數 那麼由上式可證得 e^x > 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n! + x^(n+1)/(n+1)! --> e^x > x^(n+1)/(n+1)! 因此我們就用x^(n+1)/(n+1)!來做 x^n lim ------------------------ = 0 (n在此是常數) x->無限大 x^(n+1)/(n+1)! 因此存在夠大的x使得 x^(n+1)/(n+1)! 大於 x^n 從而存在夠大的x使得 e^x > x^n 好像不是很嚴謹^^" : 3.{x:x^2 < 2 , x是有理數} 則此集合有無 最大下限 或 最小上限? --

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