※ 引述《puzzlechaos (小翔)》之铭言： : 白学长建议我来这里Po课业问题,数学庸庸的我於是来试试看,请多包含! : 1.要如何证明 Lim x[1/x] = 1 ? ([ ] 是高斯符号) : x→0 : (重点是如何处理[1/x]吧) : 2.(x>0,n属於正整数,e是自然对数的底) : 如何证 e^x (意指e的x次方) > 1 + x + (x^2 /2!) + (x^3 /3!) ...+ (x^n /n!) ? : 如何利用上式结果,证明 e^x > x^n ? 我不是很确定 还是班门弄斧一下XD 我把e的定义设为以其为底的指数函数导数不变的数 而因为 e > 1 所以 e^x - 1 > 0, 当 x>0 显然 e^x-x-1>0 当x>0 (因为上式就是此式的微分式(即f(x) = e^x-x-1的斜率大於零) 且x=0时此式等於零) 接着依此类推(应该可以写的更严谨，用归纳法的样子) e^x- x^2/2 - x - 1 >0 因为上式就是此式的微分式 而上式恒大於零 . . . 应该就行了(吧?XD) 第二个问题有点怪怪的 我想应该是指x->无限大或者至少是存在够大的x使其成立吧 因为并非所有x都会成立 ( ex. let n = 100, x = 2 ) 我的想法是 既然给定了n是某常数 那麽由上式可证得 e^x > 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n! + x^(n+1)/(n+1)! --> e^x > x^(n+1)/(n+1)! 因此我们就用x^(n+1)/(n+1)!来做 x^n lim ------------------------ = 0 (n在此是常数) x->无限大 x^(n+1)/(n+1)! 因此存在够大的x使得 x^(n+1)/(n+1)! 大於 x^n 从而存在够大的x使得 e^x > x^n 好像不是很严谨^^" : 3.{x:x^2 < 2 , x是有理数} 则此集合有无 最大下限 或 最小上限? --

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