※ [本文轉錄自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 標題: 混沌的本質特徵與混沌概念的界定(3) 時間: Mon Oct 18 05:11:07 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 標題: 混沌的本質特徵與混沌概念的界定(3) 時間: Sat Oct 16 23:54:21 2004 三、混沌概念的界定 我們認為對任何一個科學概念的界定，都應該是有主體、有原則、有本質特徵的，三個要 素缺一不可，所以在首先討論了混沌的本質特徵後，這裏將討論混沌的主體和界定混沌概 念的原則，最後給出對混沌概念的界定。 (一)混沌行為的主體 有界、非周期、敏感初條件是混沌行為或狀態所具有的本質特徵，那麼是不是一切具 有這些特徵的行為或狀態都可看作是混沌呢?即混沌行為的主體是什麼呢?我們認為，應把 混沌行為的主體限定為"確定性的非線性系統"，因為：一方面，在嚴格的科學意義上被仔 細研究過的混沌系統都是確定性的非線性系統，另一方面，把那些機理不清的複雜行為當 做混沌來處理是不嚴格和不充分的。 1．確定性。是指具有因果關係的完全決定論的情況，用機率論的語言講，就是當事 件A與事件B存在著因果關係時，在事件B出現的條件下，A一定出現，條件機率 P(A／B)=1。[7] 2．非線性。是相對於線性而言的，它可以從兩個方面來表述，其一是疊加原理不成 立，其二是物理變數間的函數關係不是直線，函數的斜率在其定義域中有不存在 或不相等的地方[8]，非線性是動力系統產生混沌現象的必要條件。 3．確定性的非線性系統。顧名思義，是指具有確定的非線性機制的系統，在物理上 它有一定的不變的非線性物理機制，在數學上可以表示成一定的非線性數學模型 (如非線性微分方程、非線性映射關係等)。任何一個系統抽象為數學模型後，它 主要包括三類要素：控制參量、狀態變數和控制參量與狀態變數間的關係即機制 ，我們所認為的確定性系統是指這三類要素都明確的系統，即由確定的數學方程 描述的，其中沒有未知的、不確定的機制和隨機項的系統。混沌理論告訴我們， 在沒有雜訊和外界擾動情況下，確定性的非線性系統只有三種非過渡性的穩態行 為，即穩定的周期行為、不穩定的周期行為、非周期行為，這第三種行為就是我 們討論的混沌行為。 (二)界定混沌概念的原則 由於混沌理論還有一些重要的基本問題沒有解決，同時不同領域的研究者從各自角度 依各自的需要進行定義，所以至今對混沌還沒有一個嚴格的、普適的定義，在眾多的對混 沌的描述中，有的嚴格一些，有的寬泛一些，但可以說都是不完備的、有缺陷的，並且有 些定義之間是相互矛盾的。為了擺脫"混沌概念的概念混沌"狀態，使人們對混沌的本質特 徵有一個明晰化的統一的認識，我們認為對混沌概念的界定，無論是動力機制上的刻劃， 還是運動學上的描述，都應遵循這樣兩個原則： 1. 對混沌概念的界定，要抓住混沌的本質的、深層次的特徵，而不能採用非本質的 、表面的特徵，被選擇的本質特徵應是其他非本質特徵的基礎和前提而不是相反。例如： 隨機性、不可長期預測性和敏感初條件都是混沌的特徵，但是其中敏感初條件是本質的、 深層次的特徵，隨機性和不可長期預測性只是敏感初條件的結果，所以前者不能作為本 質特徵被用來界定混沌概念。 2．物理刻劃與數學定義相對應，即在有限性條件下和在無限性條件下的表述應是統 一的，或說是理論(本體論上的客觀混沌)與觀測(認識論上的主觀混沌)應是相對應的。 一方面，只在數學上定義混沌，如李-約克的定義，雖然有數學上的嚴密性和確定性，但 是由於混沌軌道中的相點是無理點，且迄今為止未能證明在整個參量空間中對應混沌映射 的參量值的總測度大於0[9]，所以不能保證這種純混沌的可觀測性。而且，由於實際觀測 資料無法作到t→∞，所以也不能從有限的實際觀測資料中判斷系統是否是李-約克混沌。 另一方面，只在物理上用可觀測的特徵來定義混沌，而沒有嚴格的對應的數位描述，則不 能保證其定義的普適性、深刻性和嚴格性，因而，在一定程度上喪失了作為定義應有的性 質。總之，我們認為用以界定混沌的本質特徵，應是既有嚴格的數學表述，又是可觀測的 ，在理論上和觀測上都應是有意義的，並且兩者是統一的、對應的。 (三)對混沌概念的界定 綜上所述，我們看到對於確定性非線性系統來說，無論是與無限過程相聯繫的數學混 沌，還是在有限性條件下的物理混沌，都具有"有界"、"非周期"和"敏感初條件"三個本質 特徵，在此兩種情況下，這些特徵的意義雖然不完全相同，但是它們之間有確定的對應關 係。同時，它們又都是最基本的特徵，是其他非本質特徵的基礎。所以，可以說這三個本 質特徵是滿足界定混沌概念的兩個原則的。 至此，我們認為可以這樣來界定混沌概念，"混沌是確定性非線性系統的有界的敏感初條 件的非周期行為"。只要能確定系統處於混沌狀態，那麼行為(或狀態)主體就是確定性的 非線性系統，而且它一定具有"有界"、"敏感初條件"和"非周期"三個本質特徵；反之，任 何一個確定性的非線性系統，只要它表現出"有界"、"非周期"和"敏感初條件"的特徵，那 麼就可以認為該系統處於混沌狀態。 --

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