※ [本文轉錄自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 標題: 維數的性質及其哲學意義 時間: Mon Oct 18 05:03:07 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 標題: 維數的性質及其哲學意義 時間: Sun Oct 17 11:36:25 2004 維數的性質及其哲學意義 孫博文等 1 空間和時間是物質存在的基本形式,而維數則是描述空間和時間的最基本的特徵量之 一.不管維數來自於經驗還是來自於直覺,它已經成為人類科學思維活動中不可擺脫的概念 點是0維,直線是1維,平面是2維,而我們居住的空間是3維(如果把時間和空間同等處理-- 如相對論,則我們居住的空間是4維).所有這些直觀經驗啟發我們,可將維數看成是確定幾 何對象中一點的位置所需的獨立坐標數，或獨立變量的數目。也就是說，當想確定直線上 的某一點時,我們只需要一個變量;而要確定平面上的某一點時,則需要二個變量.這種想法 看來是非常自然的,而且完全有理由認為維數只能是整數.那麼對任意非負的整數N,作為N 維空間考慮時,在數學上也是完全允許的.實際上,在質點運動的相空間理論中"N維空間"已 有了很多的應用. 然而,早在1890年,對經驗維數的這種認識就已有人提出了深刻的置疑.意大利數學家 皮亞諾(Peano)構造的填充空間曲線(皮亞諾曲線),可以把整個平面完全覆蓋.即是說,可用 一個實數表示應是2維的平面上的任意點.也就是說,如果從獨立變量的角度考慮,可把N維 空間看作1維.這顯然是對傳統維數觀念的一個衝擊.正如當時德國數學家康托(Cantor)所 認為的:將任何N維空間的元素要由N個獨立的實數坐標確定,並把這一假定作為必要的前提 加以使用的觀點是錯誤的,他告誡大家,“所有使用這一錯誤假定的無論是哲學的,還是數 學的推理都是不能允許的”.看來即是獨立坐標數和維數必是整數的假設是站不住腳的.況 且近年來興起的碎形理論又迫使我們接觸到分數維度(Fractal dimension)的概念，這不 得不使我們重新思考維數的性質及其所具有的意義. 2 維數何以為分數？讓我們看這們一個事實:把一個正方形的每個邊長增加為原來的2倍 ,得到一個大正方形,它正好等於2^2=4 個原來的正方形.類似地,把一個正方體的每個邊長 增加為原來的2倍,就得到2^3=8個原來大小的立方體.推而廣之,一個d維幾何對象的每個獨 立方向,都增加為原來的L倍,結果得N個原來的對象,這三個數這間的關係是L^d=N.我們不 難驗證,對於一切普通的幾何對象,這個簡單關係都是成立的.現在把這個關係式兩面取對 數,寫成d=LnN/LnL,我們便可以看出d不必要是整數了. 從集合論的角度看,維數是測度的函數,而測度是某一集合的實數對應,是對幾何形體 的測量.既然是測量便可以有不同方法,而不同的方法便產生了不同的測度觀,傳統的測度 觀，可以用勒貝格(Lebesgue)測度來概括,它是以在笛卡兒坐標系中的各個坐標分量的笛 卡兒集合為覆蓋單元,將幾何對象滿覆蓋後取下確界而得.這種方法是建立在傳統的歐式空 間的基礎上的,所以它的維數就是傳統的整數維數.本世紀初,德國數學家豪斯道夫(Haus- dorff)給出了另一個測度方法.它將一抽象集合作為覆蓋單元,而這集合的直徑的D次方之 和取下確界便是所測幾何對象的測度,從而擺脫了歐氏空間的束縛.這裡的D便是此幾何對 象的維數,顯然D不必一定是整數,而是一個實數,對規整幾何對象來說它等於歐氏維數,而 對那些非常規整幾何對象卻可能是分數維度. 不同的測度觀產生不同的維數體系,而不同的維數體系使我們對集合對象有不同程度 的理解.從形式上說,維數是集合層次結構的一種量值標號.由於考察集合的角度不同,所 以劃分集合層次的方法也不同.正確的層次劃分方法應使得不同層次中的元素相對於考察 內容具有"質"的區別,這表現在不同層次的元素性質絕對不同,或按某種序關係比較產生絕 對化的結果.不同的層次元素比較結果的絕對化對應著觀測的奇異性;或者說,在確定的層 次裡考察(注意要按照劃分層次時的考察角度進行考察)不屬於該層次的元素,考察結果與 確定層次中的元素相比較具有"奇異性".例如,可以按照毫斯道夫測度定義給集合從測試角 度劃分層次,而毫斯道夫維數則成為層次的標號.在1維的層次(即使用該層次的考察尺度--- 1-測度)觀測有界直線的測試(長度),我們得到一個確定的有界實數;而若在該層次中用1-測 試考察尺度觀測三次科切(Koch)曲線的測度時,我們得到了數學上稱為"無窮大"的結果." 無窮大"與有界實數相比較結果是絕對化的.另一方面傳統的拓樸維數,是建立在勒貝格測 試的基礎上的,所以它是整數維數。顯然，整數維數比實數維數劃分的集合層次要粗，它 把很多彼此能夠分開或應該分開的層次都歸為一類層次，以至於產生很多數學上的"悖論" 和"奇異性"。例如，前面所述的三次科切曲線和皮亞諾曲線，它們的拓樸維數都是１，且 勒貝格測度都是無窮大。而在毫斯道夫維數體系中便可以找到它們相應的結構層次，它們 的毫斯道夫維數別是１.２６１８和２，其相應的毫斯道夫測度都是有限值。當然毫斯道 夫維數體系也不是最細的分層體系，它也有無法區分的集合對象。這一點我們放在後面討 論。 那麼維數到底區分了集合空間的何種性質呢？從現有已知維數的集合中，我們可以看 到，維數越大其集合所填充空間的程度也就越大，２維的平面比１維的直線添充的空間大 ，３維的立方體比２維的平面添充的空間大。這種隨著維數的增加，集合填充空間能力也 在增加的性質，伴隨著集合的複雜程度的增加。特別是那些毫斯道夫維數大於其拓樸維數 的集合──曼德爾布羅特（Mandelbrot）稱之為碎形，（此類圖形多為離散、破碎或不可 微的），它們要比具有同樣大小拓樸維數的規整集合占有更大的空間。換言之，這種集合 應有足夠的不規則性，同時也給我們帶來了足夠的複雜性。顯然，維數是集合空間的複雜 程度的一種量度。雖然不同維數的層次具有絕對化的區別，但層次之間卻不是完全獨立的 。康托經過長期的研究，得到一個驚人的結果：任何維數的空間可以唯一地映射到實數一 維直線上。也就是說，不同維數的空間可以相互映射。這便給我們一個啟示：簡單性和複 雜性之間是可以相互映射的，換言之，簡單性和複雜性之間是可以一一對應的或相通的。 這不是說，簡單性就是複雜性，而是說，簡單性中具備形成複雜性的必要條件，而且可使 我們從簡單性中認識複雜性。例如，一條直線經過變換可以轉化成一條皮亞諾曲線，而之 所以能夠轉化，是因為直線中具備成為皮亞諾曲線的可能性。然而直線就是直線，曲線就 是曲線，它們的維數分別是１和２，也就是說它們的複雜程度有很大不同，那麼是什麼造 成這種不同呢？顯然是由於線的結構有所改變，所以可以說維數是集合的一種結構性參數 。再如，一個非常複雜的曼德爾布羅特集，是由一個簡單的等式Z=Z^2+C的反復疊代而成 ，甚至一個山的圖形也可以用一個規則的反復疊代生成，這就使我們想到複雜事物的背後 很可能存在著簡單的規則在支配其自身，我們只要找到簡單的支配規則就可以把握複雜事 物的發展規律，這也正是科學一直在追求的。 另一方面，複雜性和簡單性是相與包容的，或者說，在一個事物身上我們既可以看到 複雜性也可以看到簡單性，當然這要借助於維數的觀察來體現。曼德爾布羅特曾經做過這 樣一個描述：一個繩球，從很遠處看，它不過是一個點，維數是零。近些看，繩球充填著 球形空間，具有三維。再近些就看到了繩子，對象事實上又成為一維的，雖然這一維利用 了三維空間而自我纏繞起來。再往微觀走一點，繩子成了三維繩柱，而這些柱又分解成一 維的纖維，固體的材料最後化為零維的點。於是他認為"數值結果應當依賴於物體對觀測 者的相對關係"。所以我們可以進一步認為，對於一個具體的客觀實在來說，其複雜性與 簡單性也是隨著觀察者與其對象的關係不同而發生變化的，換句話說客觀事物就本身來說 ，既是複雜的又是簡單的，這就看我們怎麼去看它。 3 前面說過維數與測量有密切關係。具體的測量方法不同，將直接影響我們對客觀事物 的直觀認識。我們知識，為了測量一個平面圖形的面積，可以用一個邊長為L、面積為L^2 的"標準"方塊去復蓋，所得的方塊數目就是它的面積（以L^2為單位）──一一個確定的 有限數。而如果用標準長度去測面積，那就會得到無窮大，相反，用標準立方體去測量沒 有體積的平面，其結果是零。如果我們用n維的標準體L^n去測量某個幾何對象時，只有n 與對象的拓樸維一致時，才能得到有限的結果。如果n<d，結果是∞；如果n>d，則得到0 。這一事實，在測度理論中有嚴格的表述，即如果用dimx表示任意非空集合x的毫斯道夫 維數，則用小於毫斯道夫維數的D值，構造的毫斯道夫測度H^D(x)=∞,而用大於毫斯維數 的D值，構造的毫斯道夫測度H^D(x)=∞.就是說，只有用dimx=D的值，構造的毫斯道夫測 度H^D(x)才會是有限值。這表明毫斯道夫維數D是唯一的，也可以說，尺度的維數只有與 被測對象的維數相同時，對此對象進行測量，才會得到有限值。所以說用傳統的整數維數 的標尺只能測量傳統的規整幾何對象，而對於科切曲線這類非規整圖形，便無法找到一個 相應的維數標尺。也就是說，整數維數過於粗糙，所以只能用具有毫斯道夫維數的標尺來 對其測量。盡管毫斯道夫維數比整數維數精細很多，但對於測量維爾斯塔斯（Weirstrass ）函數來說，它仍嫌過粗，因為此函數的毫斯道夫維數為1，但它卻是一個無處可微的函 數。而對於螺線這類對象，其毫斯道夫維數都等於1，因為它們是光滑的，但不同的螺線 ，有不同的填充能力，或不同的趨向0的速度，而對於這種細微的差別，只有借助於波利 甘（Bouligand）維數來描述，它可以區分出上述螺絲線之間的不同。顯然，波利甘維數 要比毫斯道夫維數要精細，當然還有更精細的維數，如填充（packing）維數等。 維數的這些性質，在我們看來類似於常見的顯微鏡。不同的維數體系，類似於不同分 辨等級的顯微鏡，它們可以分辨出不同細節的結構。而在同一種分辨等級下的顯微鏡，當 調到不同的焦距中，便可看到對象不同的層次。反過來說，當我們調不準焦距時，便看不 到事物的具體的形象。這時，被觀察對象對我們來說便是無窮大或零，如果把無窮大和零 對應到哲學上的概念，便是"無限"和"無"。所以在這裡，我們看到了“有限”與“無限” ，"有" 與"無"的相對性。 有限與無限，是一對古老的哲學範疇。早在公元前四百年以前，雅典的阿那克薩哥拉 就認為萬物都可以無限地分割，那怕是最小的一點物質也都包含著各種原素。所以人類早 就認識到有限是可以包含無限的，甚至在此之前人類也已認識到了有限是無限的組成部分 ，如在人們能夠觀察到或感知到事物空間範圍之外還有更大的範圍的存在將被感知。所以 說有限與無限是相互囊括存在的。 那麼，為什麼有限與無限可以統一在同一個客體上呢？這便是因為我們觀察所用的尺 度的維數不同。如前所述，當我們觀察所使用的尺度的維數與被觀察的對象的維數相同時 ， 我們便看到此對象是有限的；而當我們觀察所使用的尺度的維數小於被觀察對象的維 數時，我們所看到的便是一個無限的對象。可以說維數是事物有限與無限的轉折點或臨界 點。如此說來，一味地辯論我們的宇宙是有限的還是無限的已沒有意義，宇宙本身就是一 種客觀存在，它的有限與無限全憑我們如何去看它。由於我們人類生活在宇宙當中，而且 ，由於客觀的物理因素的限制，我們人類的實際觀察能力是有限的，一般來講，是不能超 過3維來實際觀察宇宙的，因為我們很難找到這麼高維數的標尺。如果宇宙本身的空間維 數大於3，哪怕是只大一點點，那麼我們觀察的宇宙只能無限的了，甚至，我們還可以想 像，我們的宇宙外面還有高維數的宇宙，那麼對我們來說更是無限的了。 同樣的道理，"有"與"無"也在客體上得到了統一。由於只有觀察尺度的維數與被觀察 對象的維數相同時，觀察結果才是有限的大小和具體的形象，而當觀察尺度的維數大於觀 察對象的維數時，便得到了零也就是"無"。所以說，維數也是客觀事物"有"與"無"的臨界 點。這裡所說的"有"同前一樣，是我們在所選擇的尺度條件下能看到具體的有限事物，而 這里所說的"無"則是說被觀察的對象中不具備與我們所選擇的觀察尺度同維數的東西。如 ，直線中不包含平面，可以說直線中“無”平面，但不言而喻，直線中“有”直線。由於 具體的物理條件的限制，我們只能觀察大於0維，小於或等於3維的對象。我們一直認為0 維的對象中什麼也沒有。所以我們所0維的東西看成是絕對的"無"。然而，用我們上述的 觀點看，任何對象都是"有"和"無"的統一體，0維的對象也不例外，只是由於人類生理條 件的限制而無法觀察它而已。這便可以理解道教的"有生於無"和霍金的"宇宙始於無"模型 了。因為這裡的"無"也是一種"有"，既然是"有"，它便可以從一種形式轉化成另一種形式 ，即從一低維的形式轉化成高維的形式，進入到我們可觀察區。由於我們的可觀察區很窄 ，所以我們所能觀察到的事物與客觀實際來比是微乎其微的，但這並不防礙我們去認識超 出自身觀察範圍之外的事物。因為如前所述，維數是可以互相映射的，所以我們所能觀察 到的事物與客觀實際來比是微乎其微的，但這並不防礙我們去認識超出自身觀察範圍之外 的事物。因為如前所述，維數是可以互相映射的，所以我們可以通過能觀察的事物的特點 推斷出不能觀察一的事物的性質。 4 維數觀念的更新對科學本身的發展具有重要的意義.如果現在所有自然科學理論中的 方程都不用傳統的整數維數,而使用更具廣闊意義的分數維度,那麼,它將引起比四維時空 的提出所引起的更大的變化.因為這樣一來,時間不再具有平移性,空間也不再具有均勻性 和旋轉性,從而作為自然科學基礎的時空觀也將發生根本的改變. 傳統的時空觀依賴於歐氏空間理論,其維數等同於構成歐氏空間的元素個數,也就是決 定時空狀態的物理量的個數,當然它是個整數.由於分數維數理論的提出,有的研究工作者 提出了"分數維時空觀"的概念,他們將物理量的個數推廣成非整數的分數.我們認為這種作 法欠妥。給元素計數的方法完全可由集合論公理體系建立起來，計數的結果是無關重要的 ，關鍵是計數系統的規則。現行的自然數計數體系是由集合論公理體系建立起來的符號體 系,也是人們千百年來感知自然的結晶.以分數給元素計數嚴重破壞了計數系統的規則,與 集合論公理體系相牴觸.然而我們並不否定分數維時空觀存在的合理性,相反,我們可以從 一種正確的觀點出發來說明分維時空存在的合理性. 事實上,歐氏空間的維數應定義為決定歐氏空間的乘積空間維數.根據乘積空間維數理 論,乘積空間的維數由參與乘積的各集合的維數集合之間的關係確定,若乘積空間由若干個 獨立元素通過笛卡爾乘積獲得的,乘積空間的維數等於各元素的維數之和.當按某些劃分層 次方法使得參與乘積的各集合元素的維數參差不齊時,那麼乘積空間的維數就不一定是整 數,即可能存在分維時空.這裡的關鍵是時空的維數由各物理量的個數獲得,這與我們維數 的層次結構理論是一致的.物理量的層次差異被引入到時空中,這樣既可很好地理解分數維 時空的存在性,同時也可以正確解釋奇異性態物理量和發散過程.總之,客觀事物本身只是 一種實在,而它表現出的簡單與複雜,有限與無限,有與無等都是由於我們人類的生理局限 所導致的對客觀事物的片面的認識.然而,人也只能如此,所以我們必須學會從簡單中認識 複雜,從有限中認識無限,從有中認識無等等.因此,掌握簡單與複雜,有限與無限,有與無等 之間的關係,便成了人類認識世界的一個不可缺少的階段,這便是我們撰寫此文的根本目的 . (本文摘於《自然辯證法研究》1994.11） http://bbs.dlut.edu.cn/cgi-bin/bbscon?board=Mathematics&file=M.1034724822.A&nu m=348 --

※ 發信站: 批踢踢兔(ptt2.cc) ◆ From: 218.166.117.158 -- 在細雨的午後 書頁裡悉哩哩地傳來 " 週期3 = ? " 然而我知道 當我正在日耳曼深處的黑森林 繼續發掘海森堡未曾做過的夢時 康德的諾言早已遠離......... 遠來的傳教士靜靜地看著山澗不斷反覆疊代自己的 過去 現在 和 未來 於是僅以 一顆量子渾沌 一本符號動力學 祝那發生在週一下午的新生 --

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