※ [本文转录自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 标题: 维数的性质及其哲学意义 时间: Mon Oct 18 05:03:07 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 标题: 维数的性质及其哲学意义 时间: Sun Oct 17 11:36:25 2004 维数的性质及其哲学意义 孙博文等 1 空间和时间是物质存在的基本形式,而维数则是描述空间和时间的最基本的特徵量之 一.不管维数来自於经验还是来自於直觉,它已经成为人类科学思维活动中不可摆脱的概念 点是0维,直线是1维,平面是2维,而我们居住的空间是3维(如果把时间和空间同等处理-- 如相对论,则我们居住的空间是4维).所有这些直观经验启发我们,可将维数看成是确定几 何对象中一点的位置所需的独立坐标数，或独立变量的数目。也就是说，当想确定直线上 的某一点时,我们只需要一个变量;而要确定平面上的某一点时,则需要二个变量.这种想法 看来是非常自然的,而且完全有理由认为维数只能是整数.那麽对任意非负的整数N,作为N 维空间考虑时,在数学上也是完全允许的.实际上,在质点运动的相空间理论中"N维空间"已 有了很多的应用. 然而,早在1890年,对经验维数的这种认识就已有人提出了深刻的置疑.意大利数学家 皮亚诺(Peano)构造的填充空间曲线(皮亚诺曲线),可以把整个平面完全覆盖.即是说,可用 一个实数表示应是2维的平面上的任意点.也就是说,如果从独立变量的角度考虑,可把N维 空间看作1维.这显然是对传统维数观念的一个冲击.正如当时德国数学家康托(Cantor)所 认为的:将任何N维空间的元素要由N个独立的实数坐标确定,并把这一假定作为必要的前提 加以使用的观点是错误的,他告诫大家,“所有使用这一错误假定的无论是哲学的,还是数 学的推理都是不能允许的”.看来即是独立坐标数和维数必是整数的假设是站不住脚的.况 且近年来兴起的碎形理论又迫使我们接触到分数维度(Fractal dimension)的概念，这不 得不使我们重新思考维数的性质及其所具有的意义. 2 维数何以为分数？让我们看这们一个事实:把一个正方形的每个边长增加为原来的2倍 ,得到一个大正方形,它正好等於2^2=4 个原来的正方形.类似地,把一个正方体的每个边长 增加为原来的2倍,就得到2^3=8个原来大小的立方体.推而广之,一个d维几何对象的每个独 立方向,都增加为原来的L倍,结果得N个原来的对象,这三个数这间的关系是L^d=N.我们不 难验证,对於一切普通的几何对象,这个简单关系都是成立的.现在把这个关系式两面取对 数,写成d=LnN/LnL,我们便可以看出d不必要是整数了. 从集合论的角度看,维数是测度的函数,而测度是某一集合的实数对应,是对几何形体 的测量.既然是测量便可以有不同方法,而不同的方法便产生了不同的测度观,传统的测度 观，可以用勒贝格(Lebesgue)测度来概括,它是以在笛卡儿坐标系中的各个坐标分量的笛 卡儿集合为覆盖单元,将几何对象满覆盖後取下确界而得.这种方法是建立在传统的欧式空 间的基础上的,所以它的维数就是传统的整数维数.本世纪初,德国数学家豪斯道夫(Haus- dorff)给出了另一个测度方法.它将一抽象集合作为覆盖单元,而这集合的直径的D次方之 和取下确界便是所测几何对象的测度,从而摆脱了欧氏空间的束缚.这里的D便是此几何对 象的维数,显然D不必一定是整数,而是一个实数,对规整几何对象来说它等於欧氏维数,而 对那些非常规整几何对象却可能是分数维度. 不同的测度观产生不同的维数体系,而不同的维数体系使我们对集合对象有不同程度 的理解.从形式上说,维数是集合层次结构的一种量值标号.由於考察集合的角度不同,所 以划分集合层次的方法也不同.正确的层次划分方法应使得不同层次中的元素相对於考察 内容具有"质"的区别,这表现在不同层次的元素性质绝对不同,或按某种序关系比较产生绝 对化的结果.不同的层次元素比较结果的绝对化对应着观测的奇异性;或者说,在确定的层 次里考察(注意要按照划分层次时的考察角度进行考察)不属於该层次的元素,考察结果与 确定层次中的元素相比较具有"奇异性".例如,可以按照毫斯道夫测度定义给集合从测试角 度划分层次,而毫斯道夫维数则成为层次的标号.在1维的层次(即使用该层次的考察尺度--- 1-测度)观测有界直线的测试(长度),我们得到一个确定的有界实数;而若在该层次中用1-测 试考察尺度观测三次科切(Koch)曲线的测度时,我们得到了数学上称为"无穷大"的结果." 无穷大"与有界实数相比较结果是绝对化的.另一方面传统的拓朴维数,是建立在勒贝格测 试的基础上的,所以它是整数维数。显然，整数维数比实数维数划分的集合层次要粗，它 把很多彼此能够分开或应该分开的层次都归为一类层次，以至於产生很多数学上的"悖论" 和"奇异性"。例如，前面所述的三次科切曲线和皮亚诺曲线，它们的拓朴维数都是１，且 勒贝格测度都是无穷大。而在毫斯道夫维数体系中便可以找到它们相应的结构层次，它们 的毫斯道夫维数别是１.２６１８和２，其相应的毫斯道夫测度都是有限值。当然毫斯道 夫维数体系也不是最细的分层体系，它也有无法区分的集合对象。这一点我们放在後面讨 论。 那麽维数到底区分了集合空间的何种性质呢？从现有已知维数的集合中，我们可以看 到，维数越大其集合所填充空间的程度也就越大，２维的平面比１维的直线添充的空间大 ，３维的立方体比２维的平面添充的空间大。这种随着维数的增加，集合填充空间能力也 在增加的性质，伴随着集合的复杂程度的增加。特别是那些毫斯道夫维数大於其拓朴维数 的集合──曼德尔布罗特（Mandelbrot）称之为碎形，（此类图形多为离散、破碎或不可 微的），它们要比具有同样大小拓朴维数的规整集合占有更大的空间。换言之，这种集合 应有足够的不规则性，同时也给我们带来了足够的复杂性。显然，维数是集合空间的复杂 程度的一种量度。虽然不同维数的层次具有绝对化的区别，但层次之间却不是完全独立的 。康托经过长期的研究，得到一个惊人的结果：任何维数的空间可以唯一地映射到实数一 维直线上。也就是说，不同维数的空间可以相互映射。这便给我们一个启示：简单性和复 杂性之间是可以相互映射的，换言之，简单性和复杂性之间是可以一一对应的或相通的。 这不是说，简单性就是复杂性，而是说，简单性中具备形成复杂性的必要条件，而且可使 我们从简单性中认识复杂性。例如，一条直线经过变换可以转化成一条皮亚诺曲线，而之 所以能够转化，是因为直线中具备成为皮亚诺曲线的可能性。然而直线就是直线，曲线就 是曲线，它们的维数分别是１和２，也就是说它们的复杂程度有很大不同，那麽是什麽造 成这种不同呢？显然是由於线的结构有所改变，所以可以说维数是集合的一种结构性参数 。再如，一个非常复杂的曼德尔布罗特集，是由一个简单的等式Z=Z^2+C的反复叠代而成 ，甚至一个山的图形也可以用一个规则的反复叠代生成，这就使我们想到复杂事物的背後 很可能存在着简单的规则在支配其自身，我们只要找到简单的支配规则就可以把握复杂事 物的发展规律，这也正是科学一直在追求的。 另一方面，复杂性和简单性是相与包容的，或者说，在一个事物身上我们既可以看到 复杂性也可以看到简单性，当然这要借助於维数的观察来体现。曼德尔布罗特曾经做过这 样一个描述：一个绳球，从很远处看，它不过是一个点，维数是零。近些看，绳球充填着 球形空间，具有三维。再近些就看到了绳子，对象事实上又成为一维的，虽然这一维利用 了三维空间而自我缠绕起来。再往微观走一点，绳子成了三维绳柱，而这些柱又分解成一 维的纤维，固体的材料最後化为零维的点。於是他认为"数值结果应当依赖於物体对观测 者的相对关系"。所以我们可以进一步认为，对於一个具体的客观实在来说，其复杂性与 简单性也是随着观察者与其对象的关系不同而发生变化的，换句话说客观事物就本身来说 ，既是复杂的又是简单的，这就看我们怎麽去看它。 3 前面说过维数与测量有密切关系。具体的测量方法不同，将直接影响我们对客观事物 的直观认识。我们知识，为了测量一个平面图形的面积，可以用一个边长为L、面积为L^2 的"标准"方块去复盖，所得的方块数目就是它的面积（以L^2为单位）──一一个确定的 有限数。而如果用标准长度去测面积，那就会得到无穷大，相反，用标准立方体去测量没 有体积的平面，其结果是零。如果我们用n维的标准体L^n去测量某个几何对象时，只有n 与对象的拓朴维一致时，才能得到有限的结果。如果n<d，结果是∞；如果n>d，则得到0 。这一事实，在测度理论中有严格的表述，即如果用dimx表示任意非空集合x的毫斯道夫 维数，则用小於毫斯道夫维数的D值，构造的毫斯道夫测度H^D(x)=∞,而用大於毫斯维数 的D值，构造的毫斯道夫测度H^D(x)=∞.就是说，只有用dimx=D的值，构造的毫斯道夫测 度H^D(x)才会是有限值。这表明毫斯道夫维数D是唯一的，也可以说，尺度的维数只有与 被测对象的维数相同时，对此对象进行测量，才会得到有限值。所以说用传统的整数维数 的标尺只能测量传统的规整几何对象，而对於科切曲线这类非规整图形，便无法找到一个 相应的维数标尺。也就是说，整数维数过於粗糙，所以只能用具有毫斯道夫维数的标尺来 对其测量。尽管毫斯道夫维数比整数维数精细很多，但对於测量维尔斯塔斯（Weirstrass ）函数来说，它仍嫌过粗，因为此函数的毫斯道夫维数为1，但它却是一个无处可微的函 数。而对於螺线这类对象，其毫斯道夫维数都等於1，因为它们是光滑的，但不同的螺线 ，有不同的填充能力，或不同的趋向0的速度，而对於这种细微的差别，只有借助於波利 甘（Bouligand）维数来描述，它可以区分出上述螺丝线之间的不同。显然，波利甘维数 要比毫斯道夫维数要精细，当然还有更精细的维数，如填充（packing）维数等。 维数的这些性质，在我们看来类似於常见的显微镜。不同的维数体系，类似於不同分 辨等级的显微镜，它们可以分辨出不同细节的结构。而在同一种分辨等级下的显微镜，当 调到不同的焦距中，便可看到对象不同的层次。反过来说，当我们调不准焦距时，便看不 到事物的具体的形象。这时，被观察对象对我们来说便是无穷大或零，如果把无穷大和零 对应到哲学上的概念，便是"无限"和"无"。所以在这里，我们看到了“有限”与“无限” ，"有" 与"无"的相对性。 有限与无限，是一对古老的哲学范畴。早在公元前四百年以前，雅典的阿那克萨哥拉 就认为万物都可以无限地分割，那怕是最小的一点物质也都包含着各种原素。所以人类早 就认识到有限是可以包含无限的，甚至在此之前人类也已认识到了有限是无限的组成部分 ，如在人们能够观察到或感知到事物空间范围之外还有更大的范围的存在将被感知。所以 说有限与无限是相互囊括存在的。 那麽，为什麽有限与无限可以统一在同一个客体上呢？这便是因为我们观察所用的尺 度的维数不同。如前所述，当我们观察所使用的尺度的维数与被观察的对象的维数相同时 ， 我们便看到此对象是有限的；而当我们观察所使用的尺度的维数小於被观察对象的维 数时，我们所看到的便是一个无限的对象。可以说维数是事物有限与无限的转折点或临界 点。如此说来，一味地辩论我们的宇宙是有限的还是无限的已没有意义，宇宙本身就是一 种客观存在，它的有限与无限全凭我们如何去看它。由於我们人类生活在宇宙当中，而且 ，由於客观的物理因素的限制，我们人类的实际观察能力是有限的，一般来讲，是不能超 过3维来实际观察宇宙的，因为我们很难找到这麽高维数的标尺。如果宇宙本身的空间维 数大於3，哪怕是只大一点点，那麽我们观察的宇宙只能无限的了，甚至，我们还可以想 像，我们的宇宙外面还有高维数的宇宙，那麽对我们来说更是无限的了。 同样的道理，"有"与"无"也在客体上得到了统一。由於只有观察尺度的维数与被观察 对象的维数相同时，观察结果才是有限的大小和具体的形象，而当观察尺度的维数大於观 察对象的维数时，便得到了零也就是"无"。所以说，维数也是客观事物"有"与"无"的临界 点。这里所说的"有"同前一样，是我们在所选择的尺度条件下能看到具体的有限事物，而 这里所说的"无"则是说被观察的对象中不具备与我们所选择的观察尺度同维数的东西。如 ，直线中不包含平面，可以说直线中“无”平面，但不言而喻，直线中“有”直线。由於 具体的物理条件的限制，我们只能观察大於0维，小於或等於3维的对象。我们一直认为0 维的对象中什麽也没有。所以我们所0维的东西看成是绝对的"无"。然而，用我们上述的 观点看，任何对象都是"有"和"无"的统一体，0维的对象也不例外，只是由於人类生理条 件的限制而无法观察它而已。这便可以理解道教的"有生於无"和霍金的"宇宙始於无"模型 了。因为这里的"无"也是一种"有"，既然是"有"，它便可以从一种形式转化成另一种形式 ，即从一低维的形式转化成高维的形式，进入到我们可观察区。由於我们的可观察区很窄 ，所以我们所能观察到的事物与客观实际来比是微乎其微的，但这并不防碍我们去认识超 出自身观察范围之外的事物。因为如前所述，维数是可以互相映射的，所以我们所能观察 到的事物与客观实际来比是微乎其微的，但这并不防碍我们去认识超出自身观察范围之外 的事物。因为如前所述，维数是可以互相映射的，所以我们可以通过能观察的事物的特点 推断出不能观察一的事物的性质。 4 维数观念的更新对科学本身的发展具有重要的意义.如果现在所有自然科学理论中的 方程都不用传统的整数维数,而使用更具广阔意义的分数维度,那麽,它将引起比四维时空 的提出所引起的更大的变化.因为这样一来,时间不再具有平移性,空间也不再具有均匀性 和旋转性,从而作为自然科学基础的时空观也将发生根本的改变. 传统的时空观依赖於欧氏空间理论,其维数等同於构成欧氏空间的元素个数,也就是决 定时空状态的物理量的个数,当然它是个整数.由於分数维数理论的提出,有的研究工作者 提出了"分数维时空观"的概念,他们将物理量的个数推广成非整数的分数.我们认为这种作 法欠妥。给元素计数的方法完全可由集合论公理体系建立起来，计数的结果是无关重要的 ，关键是计数系统的规则。现行的自然数计数体系是由集合论公理体系建立起来的符号体 系,也是人们千百年来感知自然的结晶.以分数给元素计数严重破坏了计数系统的规则,与 集合论公理体系相抵触.然而我们并不否定分数维时空观存在的合理性,相反,我们可以从 一种正确的观点出发来说明分维时空存在的合理性. 事实上,欧氏空间的维数应定义为决定欧氏空间的乘积空间维数.根据乘积空间维数理 论,乘积空间的维数由参与乘积的各集合的维数集合之间的关系确定,若乘积空间由若干个 独立元素通过笛卡尔乘积获得的,乘积空间的维数等於各元素的维数之和.当按某些划分层 次方法使得参与乘积的各集合元素的维数参差不齐时,那麽乘积空间的维数就不一定是整 数,即可能存在分维时空.这里的关键是时空的维数由各物理量的个数获得,这与我们维数 的层次结构理论是一致的.物理量的层次差异被引入到时空中,这样既可很好地理解分数维 时空的存在性,同时也可以正确解释奇异性态物理量和发散过程.总之,客观事物本身只是 一种实在,而它表现出的简单与复杂,有限与无限,有与无等都是由於我们人类的生理局限 所导致的对客观事物的片面的认识.然而,人也只能如此,所以我们必须学会从简单中认识 复杂,从有限中认识无限,从有中认识无等等.因此,掌握简单与复杂,有限与无限,有与无等 之间的关系,便成了人类认识世界的一个不可缺少的阶段,这便是我们撰写此文的根本目的 . (本文摘於《自然辩证法研究》1994.11） http://bbs.dlut.edu.cn/cgi-bin/bbscon?board=Mathematics&file=M.1034724822.A&nu m=348 --

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