※ [本文轉錄自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 標題: 非線性的概念、性質及其哲學意義(1) 時間: Mon Oct 18 05:03:07 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 標題: 非線性的概念、性質及其哲學意義(1) 時間: Sun Oct 17 09:27:56 2004 非線性的概念、性質及其哲學意義 張本祥 孫博文 馬克明 非線性科學是當今世界科學的前沿與熱點，涉及自然科學和人文社會科學的眾多領域，具 有重大的科學價值和深刻的哲學方法論意義。但迄今為止，對非線性的概念、非線性的性 質，並沒有清晰的、完整的認識，對其哲學意義也沒有充分地開掘。本文對非線性的概念 即什麼是非線性，非線性的性質(包括非線性與線性的關係、非線性的物理機制、非線性 與穩定性的關係等)，及由此得到的一些哲學啟示將做—嘗試性的探討。 1 非線性的概念 非線性是相對於線性而言的，是對線性的否定，線性是非線性的特例，所以要弄清非線性 的概念，明確什麼是非線性，首先必須明確什麼是線性，其次對非線性的界定必須從數學 表述和物理意義兩個方面闡述，才能較完整地理解非線性的概念。 (1) 線性 對線性的界定，一般是從相互關聯的兩個角度來進行的：其一，疊加原理成立：“如 果ψl，ψ2是方程的兩個解，那麼aψl+bψ2也是它的一個解，換言之，兩個態的疊加仍 然是一個態。”[1]疊加原理成立意味著所考察系統的子系統間沒有非線性相互作用。其 二，物理變量間的函數關係是直線，變量間的變化率是恆量，這意味著函數的斜率在其定 義域內處處存在且相等，變量間的比例關係在變量的整個定義域內是對稱的。 (2) 非線性 在明確了線性的含義後，相應地非線性概念就易於界定： 其—，“定義非線性算符N(φ)為對一些a、b或φ、ψ不滿足L（aφ+bψ）=aL(φ)+ bL(ψ)的算符”[2]，即疊加原理不成立，這意味著φ與ψ間存在著耦合，對（aφ+bψ） 的操作，等於分別對φ和ψ操作外，再加上對φ與ψ的交叉項(耦合項)的操作，或者φ、 ψ是不連續(有突變或斷裂)、不可微(有折點)的。 其二，作為等價的另—種表述，我們可以從另一個角度來理解非線性：在用於描述— 個系統的一套確定的物理變量中，一個系統的—個變量最初的變化所造成的此變量或其它 變量的相應變化是不成比例的，換言之，變量間的變化率不是恆量，函數的斜率在其定義 域中有不存在或不相等的地方，概括地說，就是物理變量間的一級增量關係在變量的定義 域內是不對稱的。可以說，這種對稱破缺是非線性關係的最基本的體現，也是非線性系統 複雜性的根源。 對非線性概念的這兩種表述實際上是等價的，其—疊加原理不成立必將導致其二物理 變量關係不對稱；反之，如果物理變量關係不對稱，那麼疊加原理將不成立。之所以採用 了兩種表述，是因為在不同的場合，對於不同的對象，兩種表述有各自的方便之處，如前 者對於考察系統中整體與部分的關係、微分方程的性質是方便的，後者對於考察特定的變 量間的關係(包括變量的時間行為)將是方便的。 關於非線性概念需要強調的是，線性或非線性的提法是相對於物理變量而言的，也就是說 ，只有物理變量的關係才是判斷是否是非線性的根據，而非物理變量的關係不能成為非線 性與否的判據。這裡所說的物理變量是指那些可以觀測的、人們感興趣的、對人類有意義 的變量。例如碎形理論中，簡單碎形的分維D是恆量，在無標度區間內lnN=DlnL，lnN與 lnL是線性關係，但是顯然不能籍此得出簡單碎形是線性的結論。這裡的物理變量是N和L ，而不是經過對數變換的LnN與lnL，即人們可觀測的、感興趣的、對人們有意義的是N和L ，而不是lnN和lnL，N與L的關係N=LD是非線性的，所以可得出碎形是非線性的結論。再如 ，物價對時間的直接關係(而不足Mandbrolt所統計的棉花價格指數的無標度性)正是人們 感興趣的、對人們有意義的，而且兩者的關係是非線性的，所以物價隨時間的變化是一種 非線性現象。 --

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