※ [本文转录自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 标题: 非线性的概念、性质及其哲学意义(1) 时间: Mon Oct 18 05:03:07 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 标题: 非线性的概念、性质及其哲学意义(1) 时间: Sun Oct 17 09:27:56 2004 非线性的概念、性质及其哲学意义 张本祥 孙博文 马克明 非线性科学是当今世界科学的前沿与热点，涉及自然科学和人文社会科学的众多领域，具 有重大的科学价值和深刻的哲学方法论意义。但迄今为止，对非线性的概念、非线性的性 质，并没有清晰的、完整的认识，对其哲学意义也没有充分地开掘。本文对非线性的概念 即什麽是非线性，非线性的性质(包括非线性与线性的关系、非线性的物理机制、非线性 与稳定性的关系等)，及由此得到的一些哲学启示将做—尝试性的探讨。 1 非线性的概念 非线性是相对於线性而言的，是对线性的否定，线性是非线性的特例，所以要弄清非线性 的概念，明确什麽是非线性，首先必须明确什麽是线性，其次对非线性的界定必须从数学 表述和物理意义两个方面阐述，才能较完整地理解非线性的概念。 (1) 线性 对线性的界定，一般是从相互关联的两个角度来进行的：其一，叠加原理成立：“如 果ψl，ψ2是方程的两个解，那麽aψl+bψ2也是它的一个解，换言之，两个态的叠加仍 然是一个态。”[1]叠加原理成立意味着所考察系统的子系统间没有非线性相互作用。其 二，物理变量间的函数关系是直线，变量间的变化率是恒量，这意味着函数的斜率在其定 义域内处处存在且相等，变量间的比例关系在变量的整个定义域内是对称的。 (2) 非线性 在明确了线性的含义後，相应地非线性概念就易於界定： 其—，“定义非线性算符N(φ)为对一些a、b或φ、ψ不满足L（aφ+bψ）=aL(φ)+ bL(ψ)的算符”[2]，即叠加原理不成立，这意味着φ与ψ间存在着耦合，对（aφ+bψ） 的操作，等於分别对φ和ψ操作外，再加上对φ与ψ的交叉项(耦合项)的操作，或者φ、 ψ是不连续(有突变或断裂)、不可微(有折点)的。 其二，作为等价的另—种表述，我们可以从另一个角度来理解非线性：在用於描述— 个系统的一套确定的物理变量中，一个系统的—个变量最初的变化所造成的此变量或其它 变量的相应变化是不成比例的，换言之，变量间的变化率不是恒量，函数的斜率在其定义 域中有不存在或不相等的地方，概括地说，就是物理变量间的一级增量关系在变量的定义 域内是不对称的。可以说，这种对称破缺是非线性关系的最基本的体现，也是非线性系统 复杂性的根源。 对非线性概念的这两种表述实际上是等价的，其—叠加原理不成立必将导致其二物理 变量关系不对称；反之，如果物理变量关系不对称，那麽叠加原理将不成立。之所以采用 了两种表述，是因为在不同的场合，对於不同的对象，两种表述有各自的方便之处，如前 者对於考察系统中整体与部分的关系、微分方程的性质是方便的，後者对於考察特定的变 量间的关系(包括变量的时间行为)将是方便的。 关於非线性概念需要强调的是，线性或非线性的提法是相对於物理变量而言的，也就是说 ，只有物理变量的关系才是判断是否是非线性的根据，而非物理变量的关系不能成为非线 性与否的判据。这里所说的物理变量是指那些可以观测的、人们感兴趣的、对人类有意义 的变量。例如碎形理论中，简单碎形的分维D是恒量，在无标度区间内lnN=DlnL，lnN与 lnL是线性关系，但是显然不能籍此得出简单碎形是线性的结论。这里的物理变量是N和L ，而不是经过对数变换的LnN与lnL，即人们可观测的、感兴趣的、对人们有意义的是N和L ，而不是lnN和lnL，N与L的关系N=LD是非线性的，所以可得出碎形是非线性的结论。再如 ，物价对时间的直接关系(而不足Mandbrolt所统计的棉花价格指数的无标度性)正是人们 感兴趣的、对人们有意义的，而且两者的关系是非线性的，所以物价随时间的变化是一种 非线性现象。 --

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