作者Keelungman (:3)
標題[轉錄]關於李天岩(一)
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標題: 關於李天岩(一)
時間: Mon Oct 18 05:03:06 2004
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標題: 關於李天岩(一)
時間: Sun Oct 17 00:26:18 2004
李天岩 (1945 - )
作者 丁玖
李天岩,祖籍湖南,1945年6月出生於福建省沙縣。他的父親李鼎勛早年留學日本東京帝
國大學醫學院,獲醫學博士。1934年回國任教湖南湘雅醫學院,1939年起任福建省省立醫
院院長。李天岩三歲時隨父母及全家定居台灣,在那裡接受教育直至大學畢業。他1968年
為台灣新竹清華大學數學系68級第一屆畢業生。在按規定服役軍隊一年後,他於1969年赴
美國馬里蘭大學(University of Maryland)數學系攻讀,1974年獲博士學位,其論文指導
老師為詹姆士·約克(James A. Yorke)。
李天岩1974年至1976年在美國猶他大學 (University of Utah) 數學系任講師,1976年至
今在美國密執安州立大學 (Michigan State University) 數學系任教,其中1976年至
1979年為助理教授,1979年至1983年為副教授,1983年至今為正教授。他在1998年被任命
為密執安州立大學講座教授(University Distinguished Professor)。李天岩1978年至
1979年應邀至美國威斯康辛大學 (University of Wisconsin)數學研究中心擔任客座副教
授,1987年至1988年為日本京都大學 (Kyoto University) 數理解析研究所訪問教授,
1998年秋季任位於美國加州大學柏克萊分校 (University of California at Berkeley)
的美國國家數學研究所 (Mathematical Sciences Research Institute)訪問教授,2000
年秋季為中國香港城市大學(City University of Hong Kong) 數學系訪問教授。他分別
於1987年和1991年成為吉林大學和北京清華大學的客座教授,並於1997年夏在北京清華大
學高等理論科學研究中心任高級研究員。
李天岩以一身病體在應用數學與計算數學幾個重要領域中作出了開創性工作,成就非凡。
他與約克的論文“周期三即混沌”(Period three implies chaos) 在數學中第一次引人
了“混沌”的概念;他對烏倫(Stanislaw Ulam) 猜想的證明是動力系統不變測度計算研
究之奠基性工作;他與凱洛格(R. B. Kellogg)及約克關於計算布勞爾 (L. E. J. Brouwer
) 不動點的思想和數值方法,開辟了現代同倫延拓算法研究的新天地;他和他的合作者們
以及學生們關於代數特徵值問題以及一般多變量多項式系統同倫方法之廣泛、深入研究,
為他贏得此領域世界領袖人物之一之稱號。
李天岩1995年獲美國著名的哥根哈獎(Guggenheim Fellowship),1996年獲密執安州立大
學傑出教授獎(Distinguished Faculty Award),1996年獲密執安州立大學弗萊明(Frame)
傑出教學獎,2002年獲台灣清華大學理學院傑出校友獎。
(一)“周期三即混沌”
現今世界上稍微了解一點動力系統的人,無人不知李天岩與約克於1975年在《美國數學月
刊》(The American Mathematical Monthly) 上發表了一篇極其重要的論文“周期三即混
沌”。該文首創了“混沌” (chaos) 的概念,開拓了整個科學界對混沌動力系統研究的
新紀元。
在科學界,混沌現象的發現與相對論及量子力學被譽稱為二十世紀三大發現之一。早在十
九世紀末、二十世紀初,偉大的法國數學家龐加萊 (H. Poincare) 在研究天體運動的“
三體問題”時已知道其牛頓 (Newton) 運動微分方程組的解對初始條件的敏感性。二十世
紀六十年代初,美國麻省理工學院 (MIT) 氣象學教授愛德華 洛倫茨 (Edward N. Lorenz
) 用三個簡單的常微分方程來計算可用於天氣預報的對流擴散問題時意外發現了長期天氣
預報的不可行性,即俗稱的所謂“蝴蝶效應”。七十年代初美國普林斯頓大學(Princeton
University) 生物學教授羅伯特·梅 (Robert M. May) 在用“邏輯斯締模型” (logistic
model) S (x) = x (1 - x) 來研究生物種類的數量變化時驚訝地發現當參數α接近4時,
其疊代序列 {S (x)} 將變得愈加複雜。在這些科學研究的背景下,混沌的數學定義在李
天岩與約克的著名論文中應運而生。
1972年,洛倫茨關於氣象預測模型的四篇論文引起了美國馬里蘭大學數學系和流體力學及
應用數學研究所的約克教授和他的博士研究生李天岩的注意。1973年三月的一天下午,當
李天岩來到約克的辦公室時,約克對他說,“我有一個好想法告訴你”。這個想法已在約
克頭腦中直觀地凸現,但他未能予以證明。兩周後,運用他得心應手的微積分技巧,李天
岩完全地證明了這個後來出了名的
李-約克定理:若實數軸 R 到其中的連續映射 f 有一
個周期為三的點,即存在 a, 使得 f(a) = b, f(b) = c,f(c) = a, 其中 a = b = c
, 則 (I) 對任意正整數 n, f 有一周期為 n 的點;(II) 存在 R 的一個不可數子集合
S,使得對其中任何兩點 x = y, 數列 |f(x) - f(y)| 既有一收斂於 0 的子數列, 也
有一收斂於某一正數的子數列。此外對 f 的任一周期點 p 和 S 中任一點 x,數列
| f(p) - f(x)| 有一收斂於某一正數的子數列。當他們的文章寫好後,按照約克的意圖
,寄給了具有大量讀者的《美國數學月刊》。但不久文章被退回,理由是該文過於研究性
,不適合此期刊所重點面向的大學生讀者群。但編輯同意若作者能改寫文章到一般學生都
能看懂的地步,可以投回《數學月刊》。但是,由於李天岩忙於微分方程等方面的研究,
這篇文章就在他桌上被束之高閣將近一年。
1974年是馬里蘭大學數學系,生物數學的“特殊年”。在這一年裡,每星期都要請“生物
數學”這個領域裡最傑出的學者來校演講。在五月的第一個星期,他們請來了普林斯頓大
學的梅教授演講一周。在其最後一天的演講中,他講了邏輯斯蒂模型的疊代當參數從小到
大變化時其動力性態愈來愈複雜的現象,但困惑於其解釋,想像中也許只是計算上的誤差
所造成的吧。約克聽完梅的演講後,在送他上飛機時,把李天岩桌上躺了將近一年的那篇
關於李-約克定理的文章給他看。他看了文章的結果後,大為吃驚,並認定此定理大大解
釋了他的疑問。約克從機場回來後立即找到李天岩“我們馬上改寫這篇文章”。文章在兩
星期內改寫完成,三個月後被《美國數學月刊》接受,並刊登在1975年12月份的那一期上
。
“周期三即混沌”一文,第一次在數學上嚴格地引入了“混沌”的定義。盡管早在1964年
,前蘇聯數學家沙可夫斯基 (A. N. Sharkovsky) 證明了較李-約克定理第一部分更為一
般的結果,但只有李-約克定理之第二部分才深刻地揭示了混沌的本質特徵:混沌動力系
統關於初始條件的敏感性以及由此產生的解的最終性態的不可預測性。根據統計,該文可
能是數學界及物理學界被引述次數最多的當代重要論文之一。截止2001年,它已被引用了
700多次。
(二)烏倫猜想
遍歷理論 (ergodic theory) 是關於非線性動力系統諸多統計性質研究的一門數學分支,
是集測度論、泛函分析、拓樸學、近世代數等於一身的綜合性學科,在物理和工程科學中
應用廣泛,如統計物理與電子線路。遍歷理論的一個重要論題是關於非線性映射的絕對連
續不變測度的存在及計算問題。這一問題又歸結為相應的定義在勒貝格 (Lebesgue) 可積
函數空間 (即 L - 空間)上的弗羅賓尼斯-佩農 (Frobenius-Perron) 算子 P 的不變密
度函數的存在性與計算問題。對於混沌動力系統,這樣的不變測度給出了混沌軌道在其相
空間中的概率分布,並與像熵 (entropy) 及李雅普諾夫指數 (Lyapunov exponent) 這樣
的重要數學概念密切相關。
1960年,被譽為美國氫彈之父的傑出波蘭裔數學家烏倫在其名著《數學問題集》(A Co-
llection of Mathematical Problems) 中對於計算定義在單位區間 [0, 1] 上的非線性
映射 S: [0, 1] → [0, 1] 所對應的弗羅賓尼斯-佩農算子的不變密度函數提出了一種
數值方法。他將區間 [0, 1] 劃分為 n 個子區間 0 = x < x <··· < x < x = 1,令 I
= [x ,x ] 為第 i 個子區間,i = 1, 2, ···, n。然後他定義了一個 n x n 階的
非負矩陣 P = [p ], 其 (i, j) - 元素為 p = m( I S (I ) ) / m( I ),m 為勒貝格
測度。p 量化了第 i 個子區間 I 中在映射 S 下被映射到第 j 個子區間 I 中那些點的
比例。烏倫方法在於計算矩陣 P 關於特徵值 1 的非負左特徵向量 v 並將其規範化,使
得以 v 的分量作為函數值的相應於如上劃分的逐片常數函數 f 為一密度函數。此密度函
數 f 可看成弗羅賓尼斯-佩農算子 P 的近似不變密度函數。對於這一基於機率想法的數
值方法的收斂性,烏倫提出了他的著名猜想:
若 P 有不變密度函數,則當 n 趨於無窮大
時,f 趨於 P 的一個不變密度函數 f *。
1973年,波蘭科學院院士洛速達 (Andrzej Lasota) 與約克在現已成為研究弗羅賓尼斯-
佩農算子不變密度存在性問題的一篇經典性論文中解決了烏倫在其《數學問題集》中提出
的一個問題:若 S : [0, 1] ----> [0, 1] 為一個足夠“簡單”的影射(例如逐片線性映
射或多項式影射),其導數絕對值不小於 1 ,則對應的弗羅賓尼斯-佩農算子是否存在不
變密度函數?事實上,洛速達和約克證明了如下的存在性定理:若映射 S : [0, 1] →
[0, 1] 為一逐片二次連續可微映射,且其導數絕對值之下確界大於 1,則對應的弗羅賓
尼斯-佩農算子存在不變密度函數,且每一不變密度函數均為有界變差函數。這個定理證
明的關鍵是用到約克發現的一個關於有界變差函數與其在某一子區間上的限制之變差之間
關係的不等式。對於給定的映射 S,由約克不等式可推得,存在一正常數 b,使得對所有
有界變差函數 f,均有如下的洛速達-約克不等式
V P f < --------------- V f + b |f(x)| dx。
當李天岩讀到上述的洛速達-約克定理的證明時,敏銳地感覺到有界變差函數的概念以及
關於有界變差函數序列的赫利 (E. Helly) 定理在證明烏倫方法收斂性時應起的作用,並
堅信對於如上的洛速達-約克區間映射族,烏倫猜想應當成立。他馬上開始了烏倫數值方
法的研究。首先他定義了對應於區間 [0, 1] 劃分 0 = x < x < ··· < x < x = 1 的
有窮維離散算子 Q 。Q 將每一可積函數 f 映成在每一子區間 I = [x , x ] 上取值為
f 在 I 上的平均值的逐片常數函數。Qn不光為將 L -- 空間投影到逐片常數函數子空間
上的迦遼金(Galerkin)投影算子,也是保持積分不變的馬爾可夫(Markov)算子。若將 Qn
與弗羅賓尼斯-佩農算子 P 復合成 Pn= Q P,則 Pn 限制在逐片常數函數全體所組成
的的子空間 △n上在其標準密度函數基底下的矩陣表示恰為烏倫方法中定義的那個行隨
機矩陣。運用布勞爾不動點定理,李天岩直接證明對每一個自然數 n,Pn 有一不變密
度函數 fn,且借助於洛速達-約克不等式與赫利定理,對洛速達-約克區間映射族,他
證明了烏倫猜想,且烏倫方法產生的近似不變密度序列 fn依 L1-範數強收斂於弗羅賓
尼斯-佩農算子的不變密度函數 f *。
二十多年來,不變測度的計算已成為遍歷理論和非線性分析中的一個活躍分支。在幾乎所
有關於應用烏倫方法及其推廣計算不變測度的文獻中,李天岩這篇發表於 1976 年美國《
逼近論雜誌》(Journal of Approximation Theory) 的論文成了必不可少的被引用經典文
章之一。此外,他的證明思想也啟發了他的學生丁玖及其合作者,中國科學院數學與系統
科學研究院周愛輝在1996年證明對於高洛-波亞斯基 (P. Gora - A. Boyarsky) 高維映
射族烏倫方法的收斂性。
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在細雨的午後 書頁裡悉哩哩地傳來 " 週期3 = ? "
然而我知道 當我正在日耳曼深處的黑森林
繼續發掘海森堡未曾做過的夢時 康德的諾言早已遠離.........
遠來的傳教士靜靜地看著山澗不斷反覆疊代自己的 過去 現在 和 未來
於是僅以 一顆量子渾沌
一本符號動力學 祝那發生在週一下午的新生
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