※ [本文转录自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 标题: 关於李天岩(一) 时间: Mon Oct 18 05:03:06 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 标题: 关於李天岩(一) 时间: Sun Oct 17 00:26:18 2004 李天岩 (1945 - ) 作者 丁玖 李天岩，祖籍湖南，1945年6月出生於福建省沙县。他的父亲李鼎勋早年留学日本东京帝 国大学医学院，获医学博士。1934年回国任教湖南湘雅医学院，1939年起任福建省省立医 院院长。李天岩三岁时随父母及全家定居台湾，在那里接受教育直至大学毕业。他1968年 为台湾新竹清华大学数学系68级第一届毕业生。在按规定服役军队一年後，他於1969年赴 美国马里兰大学(University of Maryland)数学系攻读，1974年获博士学位，其论文指导 老师为詹姆士·约克(James A. Yorke)。 李天岩1974年至1976年在美国犹他大学 (University of Utah) 数学系任讲师，1976年至 今在美国密执安州立大学 (Michigan State University) 数学系任教，其中1976年至 1979年为助理教授，1979年至1983年为副教授，1983年至今为正教授。他在1998年被任命 为密执安州立大学讲座教授(University Distinguished Professor)。李天岩1978年至 1979年应邀至美国威斯康辛大学 (University of Wisconsin)数学研究中心担任客座副教 授，1987年至1988年为日本京都大学 (Kyoto University) 数理解析研究所访问教授， 1998年秋季任位於美国加州大学柏克莱分校 (University of California at Berkeley) 的美国国家数学研究所 (Mathematical Sciences Research Institute)访问教授，2000 年秋季为中国香港城市大学(City University of Hong Kong) 数学系访问教授。他分别 於1987年和1991年成为吉林大学和北京清华大学的客座教授，并於1997年夏在北京清华大 学高等理论科学研究中心任高级研究员。 李天岩以一身病体在应用数学与计算数学几个重要领域中作出了开创性工作，成就非凡。 他与约克的论文“周期三即混沌”(Period three implies chaos) 在数学中第一次引人 了“混沌”的概念；他对乌伦(Stanislaw Ulam) 猜想的证明是动力系统不变测度计算研 究之奠基性工作；他与凯洛格(R. B. Kellogg)及约克关於计算布劳尔 (L. E. J. Brouwer ) 不动点的思想和数值方法，开辟了现代同伦延拓算法研究的新天地；他和他的合作者们 以及学生们关於代数特徵值问题以及一般多变量多项式系统同伦方法之广泛、深入研究， 为他赢得此领域世界领袖人物之一之称号。 李天岩1995年获美国着名的哥根哈奖(Guggenheim Fellowship)，1996年获密执安州立大 学杰出教授奖(Distinguished Faculty Award)，1996年获密执安州立大学弗莱明(Frame) 杰出教学奖，2002年获台湾清华大学理学院杰出校友奖。 （一）“周期三即混沌” 现今世界上稍微了解一点动力系统的人，无人不知李天岩与约克於1975年在《美国数学月 刊》(The American Mathematical Monthly) 上发表了一篇极其重要的论文“周期三即混 沌”。该文首创了“混沌” (chaos) 的概念，开拓了整个科学界对混沌动力系统研究的 新纪元。 在科学界，混沌现象的发现与相对论及量子力学被誉称为二十世纪三大发现之一。早在十 九世纪末、二十世纪初，伟大的法国数学家庞加莱 (H. Poincare) 在研究天体运动的“ 三体问题”时已知道其牛顿 (Newton) 运动微分方程组的解对初始条件的敏感性。二十世 纪六十年代初，美国麻省理工学院 (MIT) 气象学教授爱德华 洛伦茨 (Edward N. Lorenz ) 用三个简单的常微分方程来计算可用於天气预报的对流扩散问题时意外发现了长期天气 预报的不可行性，即俗称的所谓“蝴蝶效应”。七十年代初美国普林斯顿大学(Princeton University) 生物学教授罗伯特·梅 (Robert M. May) 在用“逻辑斯缔模型” (logistic model) S (x) = x (1 - x) 来研究生物种类的数量变化时惊讶地发现当参数α接近4时， 其叠代序列 {S (x)} 将变得愈加复杂。在这些科学研究的背景下，混沌的数学定义在李 天岩与约克的着名论文中应运而生。 1972年，洛伦茨关於气象预测模型的四篇论文引起了美国马里兰大学数学系和流体力学及 应用数学研究所的约克教授和他的博士研究生李天岩的注意。1973年三月的一天下午，当 李天岩来到约克的办公室时，约克对他说，“我有一个好想法告诉你”。这个想法已在约 克头脑中直观地凸现，但他未能予以证明。两周後，运用他得心应手的微积分技巧，李天 岩完全地证明了这个後来出了名的李－约克定理：若实数轴 R 到其中的连续映射 f 有一 个周期为三的点，即存在 a， 使得 f(a) = b， f(b) = c，f(c) = a， 其中 a = b = c ， 则 (I) 对任意正整数 n， f 有一周期为 n 的点；(II) 存在 R 的一个不可数子集合 S，使得对其中任何两点 x = y， 数列 |f(x) - f(y)| 既有一收敛於 0 的子数列， 也 有一收敛於某一正数的子数列。此外对 f 的任一周期点 p 和 S 中任一点 x，数列 | f(p) - f(x)| 有一收敛於某一正数的子数列。当他们的文章写好後，按照约克的意图 ，寄给了具有大量读者的《美国数学月刊》。但不久文章被退回，理由是该文过於研究性 ，不适合此期刊所重点面向的大学生读者群。但编辑同意若作者能改写文章到一般学生都 能看懂的地步，可以投回《数学月刊》。但是，由於李天岩忙於微分方程等方面的研究， 这篇文章就在他桌上被束之高阁将近一年。 1974年是马里兰大学数学系，生物数学的“特殊年”。在这一年里，每星期都要请“生物 数学”这个领域里最杰出的学者来校演讲。在五月的第一个星期，他们请来了普林斯顿大 学的梅教授演讲一周。在其最後一天的演讲中，他讲了逻辑斯蒂模型的叠代当参数从小到 大变化时其动力性态愈来愈复杂的现象，但困惑於其解释，想像中也许只是计算上的误差 所造成的吧。约克听完梅的演讲後，在送他上飞机时，把李天岩桌上躺了将近一年的那篇 关於李－约克定理的文章给他看。他看了文章的结果後，大为吃惊，并认定此定理大大解 释了他的疑问。约克从机场回来後立即找到李天岩“我们马上改写这篇文章”。文章在两 星期内改写完成，三个月後被《美国数学月刊》接受，并刊登在1975年12月份的那一期上 。 “周期三即混沌”一文，第一次在数学上严格地引入了“混沌”的定义。尽管早在1964年 ，前苏联数学家沙可夫斯基 (A. N. Sharkovsky) 证明了较李－约克定理第一部分更为一 般的结果，但只有李－约克定理之第二部分才深刻地揭示了混沌的本质特徵：混沌动力系 统关於初始条件的敏感性以及由此产生的解的最终性态的不可预测性。根据统计，该文可 能是数学界及物理学界被引述次数最多的当代重要论文之一。截止2001年，它已被引用了 700多次。 （二）乌伦猜想 遍历理论 (ergodic theory) 是关於非线性动力系统诸多统计性质研究的一门数学分支， 是集测度论、泛函分析、拓朴学、近世代数等於一身的综合性学科，在物理和工程科学中 应用广泛，如统计物理与电子线路。遍历理论的一个重要论题是关於非线性映射的绝对连 续不变测度的存在及计算问题。这一问题又归结为相应的定义在勒贝格 (Lebesgue) 可积 函数空间 (即 L - 空间)上的弗罗宾尼斯－佩农 (Frobenius-Perron) 算子 P 的不变密 度函数的存在性与计算问题。对於混沌动力系统，这样的不变测度给出了混沌轨道在其相 空间中的概率分布，并与像熵 (entropy) 及李雅普诺夫指数 (Lyapunov exponent) 这样 的重要数学概念密切相关。 1960年，被誉为美国氢弹之父的杰出波兰裔数学家乌伦在其名着《数学问题集》(A Co- llection of Mathematical Problems) 中对於计算定义在单位区间 [0, 1] 上的非线性 映射 S: [0, 1] → [0, 1] 所对应的弗罗宾尼斯－佩农算子的不变密度函数提出了一种 数值方法。他将区间 [0, 1] 划分为 n 个子区间 0 ＝ x < x <··· < x < x = 1，令 I ＝ [x ，x ] 为第 i 个子区间，i = 1, 2, ···, n。然後他定义了一个 n x n 阶的 非负矩阵 P = [p ], 其 (i, j) - 元素为 p = m( I S (I ) ) / m( I )，m 为勒贝格 测度。p 量化了第 i 个子区间 I 中在映射 S 下被映射到第 j 个子区间 I 中那些点的 比例。乌伦方法在於计算矩阵 P 关於特徵值 1 的非负左特徵向量 v 并将其规范化，使 得以 v 的分量作为函数值的相应於如上划分的逐片常数函数 f 为一密度函数。此密度函 数 f 可看成弗罗宾尼斯－佩农算子 P 的近似不变密度函数。对於这一基於机率想法的数 值方法的收敛性，乌伦提出了他的着名猜想：若 P 有不变密度函数，则当 n 趋於无穷大 时，f 趋於 P 的一个不变密度函数 f *。 1973年，波兰科学院院士洛速达 (Andrzej Lasota) 与约克在现已成为研究弗罗宾尼斯－ 佩农算子不变密度存在性问题的一篇经典性论文中解决了乌伦在其《数学问题集》中提出 的一个问题：若 S : [0, 1] ----> [0, 1] 为一个足够“简单”的影射(例如逐片线性映 射或多项式影射)，其导数绝对值不小於 1 ，则对应的弗罗宾尼斯－佩农算子是否存在不 变密度函数？事实上，洛速达和约克证明了如下的存在性定理：若映射 S : [0, 1] → [0, 1] 为一逐片二次连续可微映射，且其导数绝对值之下确界大於 1，则对应的弗罗宾 尼斯－佩农算子存在不变密度函数，且每一不变密度函数均为有界变差函数。这个定理证 明的关键是用到约克发现的一个关於有界变差函数与其在某一子区间上的限制之变差之间 关系的不等式。对於给定的映射 S，由约克不等式可推得，存在一正常数 b，使得对所有 有界变差函数 f，均有如下的洛速达－约克不等式 V P f < --------------- V f + b |f(x)| dx。 当李天岩读到上述的洛速达－约克定理的证明时，敏锐地感觉到有界变差函数的概念以及 关於有界变差函数序列的赫利 (E. Helly) 定理在证明乌伦方法收敛性时应起的作用，并 坚信对於如上的洛速达－约克区间映射族，乌伦猜想应当成立。他马上开始了乌伦数值方 法的研究。首先他定义了对应於区间 [0, 1] 划分 0 = x < x < ··· < x < x = 1 的 有穷维离散算子 Q 。Q 将每一可积函数 f 映成在每一子区间 I = [x , x ] 上取值为 f 在 I 上的平均值的逐片常数函数。Qｎ不光为将 L -- 空间投影到逐片常数函数子空间 上的迦辽金(Galerkin)投影算子，也是保持积分不变的马尔可夫(Markov)算子。若将 Qｎ 与弗罗宾尼斯－佩农算子 P 复合成 Pｎ= Q P，则 Pｎ 限制在逐片常数函数全体所组成 的的子空间 △ｎ上在其标准密度函数基底下的矩阵表示恰为乌伦方法中定义的那个行随 机矩阵。运用布劳尔不动点定理，李天岩直接证明对每一个自然数 n，Pｎ 有一不变密 度函数 fｎ，且借助於洛速达－约克不等式与赫利定理，对洛速达－约克区间映射族，他 证明了乌伦猜想，且乌伦方法产生的近似不变密度序列 fｎ依 L１－范数强收敛於弗罗宾 尼斯－佩农算子的不变密度函数 f ＊。 二十多年来，不变测度的计算已成为遍历理论和非线性分析中的一个活跃分支。在几乎所 有关於应用乌伦方法及其推广计算不变测度的文献中，李天岩这篇发表於 1976 年美国《 逼近论杂志》(Journal of Approximation Theory) 的论文成了必不可少的被引用经典文 章之一。此外，他的证明思想也启发了他的学生丁玖及其合作者，中国科学院数学与系统 科学研究院周爱辉在1996年证明对於高洛－波亚斯基 (P. Gora - A. Boyarsky) 高维映 射族乌伦方法的收敛性。 --

※ 发信站: 批踢踢兔(ptt2.cc) ◆ From: 218.167.228.139 -- 在细雨的午後 书页里悉哩哩地传来 " 周期3 = ? " 然而我知道 当我正在日耳曼深处的黑森林 继续发掘海森堡未曾做过的梦时 康德的诺言早已远离......... 远来的传教士静静地看着山涧不断反覆叠代自己的 过去 现在 和 未来 於是仅以 一颗量子浑沌 一本符号动力学 祝那发生在周一下午的新生 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.102.37