※ [本文轉錄自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 標題: 混沌的本質特徵與混沌概念的界定(2) 時間: Mon Oct 18 05:02:06 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 標題: 混沌的本質特徵與混沌概念的界定(2) 時間: Sat Oct 16 23:43:24 2004 二、有限性條件下物理混沌的本質特徵 從李-約克給出的混沌的數學定義可見，其(2)(3)條都是在t→∞情況下的結論，也就是說 ，數學混沌是與無窮過程相聯繫的，這意味著不僅映射的次數t是無限的，而且相點的值 的精確度也可以是無限的。然而我們知道，現實世界是有限的，有限性及其結果蘊含於一 切事物之中，在相應的方面規定著一切事物的性質。[3]在真實的物理世界中，不僅映射 的次數t是有限的，而且相點的值的精確度也是有限的。那麼，李-約克的數學混沌所具有 的三個本質特徵，是否仍是有限性制約下的物理混沌的本質特徵呢?或者說，有限的現實 系統的混沌是否仍具有這三個本質特徵呢?下面我們就分別來討論。 (一)有界 從物理上說，一般地我們所研究的和能研究的都是本質上的回歸行為，其現實的測度 空間總有確定的邊界，而無界的本質上的非回歸行為則沒有一般意義，也就是說，任何一 個現實系統的狀態變數的值不可能是絕對的無窮大，只能是局限於確定範圍內的有限值， 因而是有界的。 再者，雖然混沌現象的主要特徵是它的不穩定性方面，但是它也有穩定性的一方面， 實際上混沌是局部不穩定與整體穩定這一對矛盾的統一體，它的整體穩定性是混沌現象的 一個重要方面，是混沌系統所具有的穩定機制的反映。還以拋物線滿映射為例，它實際上 就相當於特定的拉伸與折疊變換(拉伸一倍，再對折)，其中拉伸操作使系統敏感初條件， 導致了混沌行為的不穩定方面，而折疊操作卻使系統的取值空間減小一半，把相點始終限 制於最初的映射區間內，它導致了混沌的穩定性方面。可見，具回歸行為的現實物理系統 的穩定機制及表觀上的整體穩定性就是物理上的"有界"，"有界"也是物理混沌的一個本質 特徵。 (二)非周期 在精確度有限、映射次數(也即軌道長度)有限的現實情況下，非零的有限的精確度雖 然可能平滑掉混沌軌道中相點的相應的有限大小的差別，從而在一定程度上"抑制"了混沌 軌道的非周期性，即任何有限長的一條軌道都可以用某種周期軌道來擬合，但是同一條軌 道只要它延伸到足夠長(不是無限長)，它與用以擬合它的任意的周期軌道仍將產生足夠的 偏離，使兩者成為可區分的。就是說，在有限精確條件下混沌軌道仍具有非周期性，仍意 味著不重複、不可壓縮和無規律可循。如果要以有限長的混沌軌道為條件來預測任意相點 的位置，即依據有周期意義的、有可壓縮性質(能以有限反映無限)的規律來預測未來，則 只能是不確定的即機率性的(條件機率小於1)，而不可能是確定的、非機率性的。 (三)敏感初條件 如上文所述，數學混沌敏感初條件表現為在t→∞條件下，間距的下確界為0的兩條軌 道，其上確界大於0。而在物理上，初始條件原則上的不精確性，加之混沌系統的非線性 不穩定機制的作用，使初值的不精確性被迅速放大成為宏觀層次的不確定性，這就是物理 混沌的敏感初條件的特徵。 1．精確度有限的初始條件 初始條件是初始時刻系統的狀態，雖然任何物理物件都有其自然的初始條件，但是人 們所知道的初始條件原則上只能通過本質上的測量過程獲得。由於反映著主體獲得的客體 的資訊的初始條件本質上具有這種測量性質，所以在以下幾種情況下，任何現實系統的初 始條件都不可能絕對精確，即初始條件有對主體而言的處於簡並狀態的不可區分的精細結 構。 (1)物理物件固有的廣延性導致的不精確性。物質的存在都有一定的局域性，都要佔 據一定的空間、時間、能量等範圍，所以事物在其測度空間中將有非0體積，如原子能級 都有一定的非0寬度。 (2)測量過程直接導致的不精確性。因為"測量"本質上是主客體(測量者與被測系統) 間的一種相互作用，這種相互作用必須通過測量工具來進行，所以測量結果的精確度不可 能高於測量工具的精確度。雖然可以通過提高測量工具的精確性來提高測量結果的精確性 ，但是原則上這種不精確性是不可能根本消除的，它是永遠伴隨測量過程而存在的。[4] (3)模糊性導致的不精確性。模糊性是模糊集合論中的一個基本概念，主要是指客觀 事物的差異在仲介過渡時所呈現的"亦此亦彼"性，模糊性的存在是客觀的、普遍的。[5] 系統的模糊性導致分辨率降低，進而使精確的相軌道描述成為不可能的或不必要的。 (4)資訊的不完全性導致的不精確性。為獲得初始條件所進行的測量總是有一定成本 的，在考慮成本的情況下，就會有資訊的不完全性。因為任何相互作用都是有成本的，只 有成本不受限制的時候，我們才會在所有情況下獲得完全的資訊，但是現實中對初始條件 的測量，測量主體願意付出和所能付出的成本都是有限的。所以在某些情況下，我們不可 能獲得完全的資訊，而只能獲得有限成本條件下的不完全的資訊，不完全的資訊將直接導 致不精確性。 2．敏感初條件的意義 從穩定性角度考慮，混沌軌道是局部不穩定的，"敏感初條件"就是對混沌軌道的這種 不穩定性的描述。我們知道系統的具體動力學行為由"動力學方程+邊界條件"給出，[6]其 中，動力學方程 (這裏指確定性的非線性系統)反映著該類系統的運動規律，邊界條件代 表著系統所處的具體環境，包括時間上的初始條件和空間上的邊界條件。如果廣義地把邊 界理解為初始時刻系統的狀態，那麼系統的動力學描述就成為："動力學方程+初始條件" ，從而可以說，任何系統的具體行為都是由其動力學方程和初始條件共同決定的，初始條 件是個不可或缺的因素，但不是唯一的因素，它要和動力學方程一起才能完全描述系統的 動力學行為。 初始條件的不精確性在具有指數放大作用的動力學方程即非線性機制的作用下，只需經歷 一個有限過程(而不是無限過程)，就可被放大成宏觀層次上的(對主體來說有意義的)不確 定性，這就是物理混沌所具有的本質特徵之一--敏感初條件的意義。 --

※ 發信站: 批踢踢兔(ptt2.cc) ◆ From: 218.167.228.139 -- 在細雨的午後 書頁裡悉哩哩地傳來 " 週期3 = ? " 然而我知道 當我正在日耳曼深處的黑森林 繼續發掘海森堡未曾做過的夢時 康德的諾言早已遠離......... 遠來的傳教士靜靜地看著山澗不斷反覆疊代自己的 過去 現在 和 未來 於是僅以 一顆量子渾沌 一本符號動力學 祝那發生在週一下午的新生 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.102.37