※ [本文转录自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 标题: 混沌的本质特徵与混沌概念的界定(2) 时间: Mon Oct 18 05:02:06 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 标题: 混沌的本质特徵与混沌概念的界定(2) 时间: Sat Oct 16 23:43:24 2004 二、有限性条件下物理混沌的本质特徵 从李-约克给出的混沌的数学定义可见，其(2)(3)条都是在t→∞情况下的结论，也就是说 ，数学混沌是与无穷过程相联系的，这意味着不仅映射的次数t是无限的，而且相点的值 的精确度也可以是无限的。然而我们知道，现实世界是有限的，有限性及其结果蕴含於一 切事物之中，在相应的方面规定着一切事物的性质。[3]在真实的物理世界中，不仅映射 的次数t是有限的，而且相点的值的精确度也是有限的。那麽，李-约克的数学混沌所具有 的三个本质特徵，是否仍是有限性制约下的物理混沌的本质特徵呢?或者说，有限的现实 系统的混沌是否仍具有这三个本质特徵呢?下面我们就分别来讨论。 (一)有界 从物理上说，一般地我们所研究的和能研究的都是本质上的回归行为，其现实的测度 空间总有确定的边界，而无界的本质上的非回归行为则没有一般意义，也就是说，任何一 个现实系统的状态变数的值不可能是绝对的无穷大，只能是局限於确定范围内的有限值， 因而是有界的。 再者，虽然混沌现象的主要特徵是它的不稳定性方面，但是它也有稳定性的一方面， 实际上混沌是局部不稳定与整体稳定这一对矛盾的统一体，它的整体稳定性是混沌现象的 一个重要方面，是混沌系统所具有的稳定机制的反映。还以抛物线满映射为例，它实际上 就相当於特定的拉伸与折叠变换(拉伸一倍，再对折)，其中拉伸操作使系统敏感初条件， 导致了混沌行为的不稳定方面，而折叠操作却使系统的取值空间减小一半，把相点始终限 制於最初的映射区间内，它导致了混沌的稳定性方面。可见，具回归行为的现实物理系统 的稳定机制及表观上的整体稳定性就是物理上的"有界"，"有界"也是物理混沌的一个本质 特徵。 (二)非周期 在精确度有限、映射次数(也即轨道长度)有限的现实情况下，非零的有限的精确度虽 然可能平滑掉混沌轨道中相点的相应的有限大小的差别，从而在一定程度上"抑制"了混沌 轨道的非周期性，即任何有限长的一条轨道都可以用某种周期轨道来拟合，但是同一条轨 道只要它延伸到足够长(不是无限长)，它与用以拟合它的任意的周期轨道仍将产生足够的 偏离，使两者成为可区分的。就是说，在有限精确条件下混沌轨道仍具有非周期性，仍意 味着不重复、不可压缩和无规律可循。如果要以有限长的混沌轨道为条件来预测任意相点 的位置，即依据有周期意义的、有可压缩性质(能以有限反映无限)的规律来预测未来，则 只能是不确定的即机率性的(条件机率小於1)，而不可能是确定的、非机率性的。 (三)敏感初条件 如上文所述，数学混沌敏感初条件表现为在t→∞条件下，间距的下确界为0的两条轨 道，其上确界大於0。而在物理上，初始条件原则上的不精确性，加之混沌系统的非线性 不稳定机制的作用，使初值的不精确性被迅速放大成为宏观层次的不确定性，这就是物理 混沌的敏感初条件的特徵。 1．精确度有限的初始条件 初始条件是初始时刻系统的状态，虽然任何物理物件都有其自然的初始条件，但是人 们所知道的初始条件原则上只能通过本质上的测量过程获得。由於反映着主体获得的客体 的资讯的初始条件本质上具有这种测量性质，所以在以下几种情况下，任何现实系统的初 始条件都不可能绝对精确，即初始条件有对主体而言的处於简并状态的不可区分的精细结 构。 (1)物理物件固有的广延性导致的不精确性。物质的存在都有一定的局域性，都要占 据一定的空间、时间、能量等范围，所以事物在其测度空间中将有非0体积，如原子能级 都有一定的非0宽度。 (2)测量过程直接导致的不精确性。因为"测量"本质上是主客体(测量者与被测系统) 间的一种相互作用，这种相互作用必须通过测量工具来进行，所以测量结果的精确度不可 能高於测量工具的精确度。虽然可以通过提高测量工具的精确性来提高测量结果的精确性 ，但是原则上这种不精确性是不可能根本消除的，它是永远伴随测量过程而存在的。[4] (3)模糊性导致的不精确性。模糊性是模糊集合论中的一个基本概念，主要是指客观 事物的差异在仲介过渡时所呈现的"亦此亦彼"性，模糊性的存在是客观的、普遍的。[5] 系统的模糊性导致分辨率降低，进而使精确的相轨道描述成为不可能的或不必要的。 (4)资讯的不完全性导致的不精确性。为获得初始条件所进行的测量总是有一定成本 的，在考虑成本的情况下，就会有资讯的不完全性。因为任何相互作用都是有成本的，只 有成本不受限制的时候，我们才会在所有情况下获得完全的资讯，但是现实中对初始条件 的测量，测量主体愿意付出和所能付出的成本都是有限的。所以在某些情况下，我们不可 能获得完全的资讯，而只能获得有限成本条件下的不完全的资讯，不完全的资讯将直接导 致不精确性。 2．敏感初条件的意义 从稳定性角度考虑，混沌轨道是局部不稳定的，"敏感初条件"就是对混沌轨道的这种 不稳定性的描述。我们知道系统的具体动力学行为由"动力学方程+边界条件"给出，[6]其 中，动力学方程 (这里指确定性的非线性系统)反映着该类系统的运动规律，边界条件代 表着系统所处的具体环境，包括时间上的初始条件和空间上的边界条件。如果广义地把边 界理解为初始时刻系统的状态，那麽系统的动力学描述就成为："动力学方程+初始条件" ，从而可以说，任何系统的具体行为都是由其动力学方程和初始条件共同决定的，初始条 件是个不可或缺的因素，但不是唯一的因素，它要和动力学方程一起才能完全描述系统的 动力学行为。 初始条件的不精确性在具有指数放大作用的动力学方程即非线性机制的作用下，只需经历 一个有限过程(而不是无限过程)，就可被放大成宏观层次上的(对主体来说有意义的)不确 定性，这就是物理混沌所具有的本质特徵之一--敏感初条件的意义。 --

※ 发信站: 批踢踢兔(ptt2.cc) ◆ From: 218.167.228.139 -- 在细雨的午後 书页里悉哩哩地传来 " 周期3 = ? " 然而我知道 当我正在日耳曼深处的黑森林 继续发掘海森堡未曾做过的梦时 康德的诺言早已远离......... 远来的传教士静静地看着山涧不断反覆叠代自己的 过去 现在 和 未来 於是仅以 一颗量子浑沌 一本符号动力学 祝那发生在周一下午的新生 --

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