※ [本文轉錄自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 標題: 芒德勃羅：沿著博物學傳統走來(9) 時間: Mon Oct 18 04:59:06 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 標題: 芒德勃羅：沿著博物學傳統走來(9) 時間: Sun Oct 17 23:04:31 2004 公開爭論 80年代芒德勃羅捲入多種爭論，其中影響較大的公開爭論有兩場。一次是1986年在 《今日物理學》雜誌上，一次是1989年在《數學信使》雜誌上。每一次都連續刊發了系列 評論或信函。現在重溫這些爭論對於理解分形、理解芒德勃羅、理解整個現代科學的運行 都有價值。 1986年二月在世界範圍享有盛譽的《今日物理學》開辦了“參照系”(Reference Frame)這樣一個欄目，首期請芝加哥大學凝聚態物理學家、麥克阿瑟(John D.MacArthur) 物理教授卡丹諾夫(Leo Kadanoff)著文。卡丹諾夫是相變理論、臨界現象、非線性系統渾 沌行為方面的專家。他寫了一個帶有挑戰味道的題目《分形：其物理學在哪裡?》，開頭 便寫道：“為什麼分形這麼多事?《物理評論快報》(Physical Review Letters)報怨，每 三篇投稿中就有一篇以某種方式與分形扯到一起。一些大公司的實驗室(像施樂和IBM)將 其基礎研究預算中相當可觀的一部分用於研究分形系統。在過去的一年裡，大約有半打學 術會議是關於這個主題的。為什麼?”〔２０〕 看得出來，卡丹諾夫來者不善。他接著說：“但首要的是，什麼是分形?不同人以不 同的方式使用‘分形’這個詞，但都同意分形對象像中國套箱或者俄羅斯套娃娃，包含層 層嵌套的結構。”文章主體部分回顧了擴散置限凝聚(DLA)模型以及分維的計算，接著又 開始了發問。 他說，不幸的是分維測度並不能有效區分不同的對象，雖然也有人給出分維以外的其 他指標，“但這一領域的未來發展有賴於建立更本質的理論基礎，在這個基礎上應該能 夠導出現象層次的幾何形式。如果缺少這樣一個基礎，就不可能準確地確定什麼樣問題 有可能具有有趣的答案。人們可以希望，甚至期待，最終要發展出類似威爾遜(Kenneth Wilson，曾獲物理學諾貝爾獎)重正化方法一樣的理論基礎，來使這一主題漂浮的船舶穩 固下來。”“沒有那樣的基礎，許多分形工作似乎顯得膚淺，甚至有些乏味。在各種各 樣模型的基礎上實施計算機模擬，然後將結果與真實世界的情況對比，這不難，簡直太 容易了。但是，缺少組織原則，這一領域就會墮落為有趣物種和簡易分類的動物園。盡 管這一領域所基於的現象觀察十分美麗和精緻，但分形的物理學，無論如何是有待誕生 的學科。”〔２０〕 《今日物理學》4月份在“研究與發現”欄目中又刊出記者列維(Barbara G.Levi)寫 的一篇報導《新的整體分形形式化(formalism)描述了通向湍流的道路》,〔２１〕主要 講了費根鮑姆發現周期倍化分岔普適常數以及許多人的實驗驗證，特別提到分形的新的 形式化描述，寫下了公式 pi=lαi(l)，其中l是小的距離，pi是機率，αi是標度指數。 標度指數取值有一定的範圍，其分布構成奇異性譜，用函數f(α)表示。可以粗略地把f設 想為熵。這說 的是多〔標度〕分形。接下去文章用大量篇幅講述各種具體研究，以及以 α為橫坐標、f(α )為縱坐標做出來的曲線圖。有關思想來源只在一處簡單地提到芒德勃 羅的名字。 芒德勃羅看了這兩篇文章大為不悅，給編輯部去了一封信，刊於《今日物理學》9月 號，題目是《多分形與分形》。〔２２〕他首先針對卡丹諾夫的提問作了回答：“卡丹 諾夫問‘分形為什麼這麼多事’，我們看到現在答案部分在於他本人以及他的親近同伙的 工作都與‘多分形’有關。”芒德勃羅在這封信中特別補充了自己早期關於多分形的貢 獻。“1968 年我在關於發達湍流的工作中第一個提到了多〔重〕分形，70年代我發表了 有關此問題的大量論述。”他一口氣提到他獨立撰寫與合作完成的十餘種文獻，目的只 有一個，強調他最先 提出了多〔重〕分形的思想。全文最刺激的話是：“無論怎樣，來 自芝加哥的關於(多)分形 的最新研究，令我感受到作為一位父親的驕傲，也許不久就要 當祖父了。” 不過應當指出“多〔重〕分形”一詞是弗里茨和帕里西命名的，當然他受到了芒德勃 羅的影響(如1974年的文章)，後來弗氏又對多分形形式化進行了改進。芒德勃羅也承認這 一點。 芒氏又講道：“盡管我70年代的論文既難寫更難讀，但它們包含一些至今沒有超越或 者沒有重新發現的思想。特別地，我發表在《統計模型與湍流》一書中的論文(1972年， 題目為《陣發湍流中與能量耗散分布有關的對數正則假設的可能細化》)包含多分形測度 的有用描述。”他還讓人們注意1980年在哈佛大學時與一伙同事們(如杰芬(Y.Gefan)和 阿哈羅尼等)合作發表的多篇論文。這些同事完全站在芒氏一邊，其中阿哈羅尼是芒氏的 重要追隨者，1989 年10月他與費德在法國專門舉辦了一次研討會為芒氏65歲生日祝壽， 並組織出版了紀念文集 (見1989年出版的《物理學38D》雜誌)。 在這封信的結尾芒氏寫道：“擴散置限凝聚(DLA)及其各個變種確實只是被發現和描 述，還沒有完全解釋清楚。描述先於理論是科學發展的通常模式。但是，看看在短短不 到6年的時間裡已變得徹底可理解的所有硬科學!看看關於逾滲網瀑漲的知識，以及分形 形狀對物理學所產生的奇妙的、多樣性的影響和修正吧!” 芒德勃羅捲入的第二個爭論遠勝過第一個。這次發難者是早年畢業於聖克魯玆加州大 學、現任聖路易斯州華盛頓大學的數學家克蘭茨(Steven G.Krantz)，他的研究方向是函 數論和複分析的幾何方法。此人愛好廣泛，後來(1990年)還在同一刊物上發表一篇《數 學軼事》，專門講述了柏格曼(Stefan Bergman,1898-1977)、貝塞克維奇(Abram S. Besicovitch,1891-19 70)、哥德爾(Kurt Go..del,1906-1978)、萊弗席玆(Solomon Lefschetz,1884-1972)和維納的一些令人發笑的故事。 好在那些數學家早就去世了，講述的故事真假死無對證，不過這一次(1989年)他卻惹 了麻煩 。1988年秋克蘭茨想對兩本書《分形圖象科學》和《分形之美》作一評論，先徵 得了美國數學會會刊書評編輯的同意。編輯斯托特(Edgar Lee Stout)很快收到稿子並同 意發表，校樣。 1989年1月中旬出來後克蘭茨故意複印了一些讓人們傳看，特別送給芒德 勃羅一份。芒德勃羅閱畢表示強烈反對，並寫了一篇反駁文章。後來數學會怕惹事，建議 克蘭茨撤回書評稿另投他處。克蘭茨也非常生氣，堂堂美國數學會怎麼能出爾反爾。最後 書評連同芒德勃羅的反駁一同刊登在很有名的《數學信使》(The Mathematical Intelli- gencer)雜誌1989年第4期上。〔１４〕 克蘭茨的書評寫得很長，只是稍帶評論一下提到的那兩部當時影響極大的書，文章的 中心是衝芒德勃羅和分形幾何學來的。開篇溫和地從公眾理解數學談起，不久就到了關 鍵：“但是 ，目前數學中有一項進展由於其潛在的易理解性，可能使其他數學宣傳相形 見絀，這就是分形理論。盡管現在稱作分形集合的東西已早被研究了(如在調和分析、幾 何測度論和奇異性 理論中)，但芒德勃羅起了‘分形’這個詞，並使之流行起來。” 接著引用了《分形之美》中芒德勃羅一段得意的、極容易引起反感的話，然後評論說 ，有人竟認為分形是自微積分以來最偉大的數學思想。但他認為根本不是這麼回事。“ 像微積分的創立者們一樣，分形幾何的奠基人也造就了一批有志於此事業的中堅隊伍。 他們不會因為缺乏嚴格性而受阻，因為他們分享著最近300年來辛勤積累的智慧，即使到 目前還沒有普遍接受的‘分形’定義。情況似乎是，他們不證明定理(顯然分形幾何學家 們不證明定理)時，是不需要定義的。分形幾何與微積分的顯著差別是，分形幾何沒有解 決任何問題。我不清楚它是否創造了任何新的東西。”可以看出火藥味是頗濃的，而這 裡見到的還是修改後、語氣有所緩和的稿子。 克蘭茨還特別提到要把目前不適當歸於“分形”標題或者大傘之下的真正數學拿走， 至少是劃清界線，他認為分形幾何學只是一個空架子。他認為像“輪廓使人想起一隻狗 的頭，上部像尼斯湖的妖怪。在自然界中其分維數D比歐氏空間維數E要大0.2到0.3的形狀 似乎特別多。典型的海岸線的分維大約是1.2，地形約為2.2，而雲彩約為3.3”這類描述 根本不像是科學。“當人們翻開這兩本書時，似乎分形幾何是一門科學，顯然指數學。 但是我在兩本書中任何一處看不到一個定理，也幾乎沒有定義。如前面指出的，對‘分 形’一詞沒有明確的定義。作為一個數學家，我覺得這不是一個好兆頭。”“我不認為 芒德勃羅證明了任何定理作為他的研究結果，不過這也並非他所聲稱要做的事。用他自 己的話，他是一位科學哲學家 。”“芒德勃羅建議分形幾何學家也利用電腦作圖來提出 假設和猜想。但作分形研究的人提出的假設和猜想是就事論事的，他們產生圖形是為了 得到更多的圖形，而不是為了得到更深刻的思想。即使這些圖形偶然會使熟練的數學家 證明出好的定理，這似乎是碰碰運氣而已 。” 克蘭茨的書評特別評論了關於復疊代的研究，他故意抬一個貶一個，認為道阿迪和哈 伯德(J .H.Hubbard，道阿迪以前的學生)的工作繼承了朱麗亞和法圖(Pierre Fatou,1978- 1979)的傳統，是真正出色的數學。“‘芒德勃羅集(簡稱M集)’並不是由芒德勃羅發明的 ，很清楚在“芒德勃羅集”這個詞被製造幾年之前，文獻中就清楚地出現過(指布魯克斯 (Robert Brooks)等人1978年的會議論文，1981年出版)。事實上法圖和朱麗亞早就研究了 疊代函數 z→z2+c，如今芒德勃羅至少是由於與這此有關，而得到不少榮譽。”克蘭茨還 就“ 外爾斯特拉斯-芒德勃羅函數”的命名提出疑問，不過這算不了什麼，芒氏也巧妙地 作了回 答:實際上作這樣稱呼的是著名科學家伯瑞(Michael Berry),WM函數具有自仿射性 質，而W函數不具有。 克蘭茨認為雖然道阿迪等對動力系統、疊代函數作了出色研究，“但是這些數學家們 不研究分形，他們證明漂亮的定理。分形幾何之所以得到數學界如此高的贊揚，實際上 是間接稱頌道阿迪、哈伯德、沙斯頓(Willian Thurston)和其他人的工作。”“我發現 麻煩的是，公眾對於當今數學家們正在從事的工作的理解大部分是由於讀了關於分形的 書，讀了格萊克的《渾沌》(Chaos)一書，讀了那些包含長期間的猜測和不正確的證明的 書籍，來獲得的。 ……這兩部書造成了可怕的誤導。分形理論和渾沌理論還處於繈褓中 。現在就講述它們是否能篷勃發育為成熟的學科為時尚早。”〔１４〕 克蘭茨的文章還挑起了另一個敏感問題：“對分形理論的過分宣傳導致了對數學發展 的有害的官方政策。在一些圈子中，得到購買產生分形圖形的硬體的經費，比支持研究 代數幾何來得容易。代數幾何是經得住時間考驗的，而分形幾何還沒有，人們一定會奇 怪，是怎樣的考慮導致這樣的經費資助決策。我個人的看法是，官僚機構比較容易認同 對硬體的投資而不是對思想的投資。無論怎樣，對這種政策造成的長期效果的預測令人 沮喪。”。最後的結論是 ：“關於它們形成一門新的學科，或者形成自然界中一種新的 分析語言這一斷言，我想說， 分形理論在這方面所作出的貢獻是非本質的。總之，皇帝 沒有著穿衣。” 克蘭茨的批評十分坦率，有不少也的確擊中要害，但總體上似乎過火了，多少有些“ 紅眼病 ”之嫌。我們還是看看芒德勃羅的反應吧。 他先作了一個有趣的開場白：“看看數學的歷史，數學界回到了具有靈活性和多元論 的時代 ，每個人都有權力表明他的心情。”之後著重就“芒德勃羅集”的優先權作出了 反應，這對 L來說的確很重要，公眾(特別是能夠上微電腦作圖的人)主要是由芒德勃羅 集而知道分形的。自然扯到布魯克斯與馬蒂爾斯基(J.Peter Matelski)1978年寫成1981 年發表出來的文章(刊於一部論文集中)。準確說，雖然芒德勃羅於1979-1980年也研究了 二次復疊代，大概也獨立發現了M集，但布魯克斯發現得更早些。論文寫成時間一個是 1978年，一個是1980年(或 者再早些算1979年)；但發表時間正好倒過來了，一個是1981 年，一個是1980年。論文集顯然比雜誌論文刊出周期長。芒氏不願承認發現的先後，但 又不好正面反駁，於是找到另外幾個理由：1)指出布魯克斯只給出了M集的粗糙版本；2) 是芒德勃羅本人大力宣傳了M 集；3)正是芒德勃羅吃飯的時候花大量時間向道阿迪講述M 集，促使道阿迪與其學生哈伯德暫時放下手頭的工作而專心研究M集的性質。芒德勃羅指 出，他在沙利文(Dennis S ullivan,也是道阿迪以前的學生)的CUNY討論班上向米爾諾 (J.Milnor)和沙斯頓講述M集 時，M集還不曾歸於任何人的名下。〔14〕 M集合究竟是怎樣開始冠以芒德勃羅的名字，現在還不清楚。但這並不是什麼了不起 的 事情，數學史上張冠李戴的事多著呢。比如：1)電腦輔助幾何設計中，利用伯恩斯坦 (Bernstein)多項式可得出工程設計中非常有實用價值的比澤爾(Pierre E.Bezier,1910- ) 曲線，這種算法雪鐵龍汽車公司工程師卡斯特喬(de Casteljau)也獨立地做了同樣的工作 ，只是沒有宣傳。〔39,40〕)利用複函數去計算實積分的值，歐拉(Leonhard Euler,1707 -1783)和拉普拉斯(Pierre-Simmon Laplace,1749-1827)都有優先權。3)在常微分方程研 究中，關於富克斯(Immanuel Lazarus Fuchs，1833-1902)型函數和克萊因(Christian Felix Klein，1849-1925)型函數也存在一些爭議。龐加萊將克萊因研究過而富克斯沒有 研過的那種函數命名為富克斯型函數，遭到克萊因的抗議，於是龐加萊馬上將自己新發現 的一種函數命名為克萊因函數，然而克萊因本人從來沒有考慮過這種函數!〔41〕 芒德勃羅在為自己爭優先權時不小心又傷了布魯克斯，後者1990年在第1期《數學信 使》中反駁了芒氏。布魯克斯在給編輯的信中說：“至於誰發明了現在稱作芒德勃羅集 的東西，我認為應當牢記：大約在20年代法圖的頭腦中對此就有一幅完整的圖象。毫無疑 問，如果法圖有機會接觸現代電腦的話，他就可能並且已經繪製出馬蒂爾斯基、芒德勃羅 和我60年後出來的完整圖形。這麼多年來，工作在這一領域的其他許多人也一定能夠做到 。坦率地說，生活在電腦革命的時代，我很難自作主張擁有某種榮譽。” 芒德勃羅曾說：馬蒂爾斯基和布魯克斯只是接近於那種將被證明是特殊的東西，但他 們對於這幅圖形並沒有理解。布魯克斯反問道：“我不知道他對我們理解什麼或者沒有 理解什麼，怎樣那麼有把握!我們特別不喜歡發表帶有哲學思辨性質或者半生不熟的方案 。要害在於句子的前半部分。在所有這些大吵大嚷之後，如果芒德勃羅真的相信這個集 合有些特殊，那麼他一定言不由衷。正如英國海岸線沒什麼不同於世界上所有其他海岸 線一樣，芒德勃羅集也只是整個奇妙的數學宇宙中的一個(當然既不是第一個也不是最後 一個)，它反射出自然界與思維世界中各種類型的美與精巧。” 在1990年第1期《數學信使》中還刊發了卡丹諾夫對上述討論的回應，不過他隻字未 提孰是孰非，而是補充評論了一下先前提到的兩部書，這為它們很有價值，其中的一部 他還推荐給自己的學生閱讀。 另外芒德勃羅還就克蘭茨說他是“科學哲學家”進行了辯白，說那只是克蘭茨的論斷 。芒氏稱自己是“實幹家”(doer)，寫的文章也都發表在實實在在的數學、科學和藝術 雜誌上。很清楚，在他們的爭論中，雙方都認定“科學哲學家”只是一些善於夸夸其談、 只知道評論別人工作的一伙人。實際上呢?大家心裡都清楚。 克蘭茨並不服輸，1989年第4期《數學信使》還為他留了一小塊再反駁的空間，他講 了這樣一段再次讓芒氏難受的話：“布魯克斯和馬蒂爾斯基的思想是在1978年的一次會 議上提出的，至於芒德勃羅的早期貢獻可能在1979年到1980年之間。《今日物理學》的 編輯列維在1986 年4月的文章中介紹了卡丹諾夫的工作，這工作用的是統計力學方法而不 是分形幾何方法。 列維描述這一深刻的科學研究工作時用了分形的語言，芒德勃羅表示 預設，這正好提供一個例子，說明分形幾何學家借用其他學科的出色成果來裝點自己的 傾向。” 拋開情感因素，克蘭茨對分形幾何的批評是有意義的，分形幾何的確存在他所指出的 若干不成熟性、不嚴格性，但是這不應該歸罪於一個人，特別不能歸罪於為這一新學科 做出重大貢獻的創始人芒德勃羅。責任應該由科學共同體集體承擔，其中他自己也有份 。當然由於涉及一些個人利益，芒德勃羅過分敏感，作為領袖他主動應戰。實際上芒德 勃羅並沒有爭回什麼 (M集的命名已成事實，誰也改變不了)，反而影響了自己的公眾形象 ，使人覺得他是一個過分計較的人。芒德勃羅大概沒有研究過大眾傳播學，他應該知道 ，人不出名時，公開的爭論對自己有利，而當自己出名時，公開爭論只能給自己抹黑。 有人曾說芒德勃羅這個人有才無德，他與幾乎所有同事都爭執，甚至把別人指責他的 把戲轉手用於攻擊別人，例如他曾攻擊非線性科學同一陣地的費根鮑姆，指出他的周倍 化普適性過程並不新鮮，一個叫米爾堡(P.J.Myrberg)的人早在1962年就發現了云云。這 種說法有些過火，其實芒氏與多數同事都相處得很好，如與漢德爾曼(S.W.Handelman)、 沃斯(Richard F. Voss)、拉夫(Mark R.Laff)、諾頓(V.Alan Norton)及邁肯娜(Douglas M.McKenna)等。 --

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