※ [本文转录自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 标题: 芒德勃罗：沿着博物学传统走来(9) 时间: Mon Oct 18 04:59:06 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 标题: 芒德勃罗：沿着博物学传统走来(9) 时间: Sun Oct 17 23:04:31 2004 公开争论 80年代芒德勃罗卷入多种争论，其中影响较大的公开争论有两场。一次是1986年在 《今日物理学》杂志上，一次是1989年在《数学信使》杂志上。每一次都连续刊发了系列 评论或信函。现在重温这些争论对於理解分形、理解芒德勃罗、理解整个现代科学的运行 都有价值。 1986年二月在世界范围享有盛誉的《今日物理学》开办了“参照系”(Reference Frame)这样一个栏目，首期请芝加哥大学凝聚态物理学家、麦克阿瑟(John D.MacArthur) 物理教授卡丹诺夫(Leo Kadanoff)着文。卡丹诺夫是相变理论、临界现象、非线性系统浑 沌行为方面的专家。他写了一个带有挑战味道的题目《分形：其物理学在哪里?》，开头 便写道：“为什麽分形这麽多事?《物理评论快报》(Physical Review Letters)报怨，每 三篇投稿中就有一篇以某种方式与分形扯到一起。一些大公司的实验室(像施乐和IBM)将 其基础研究预算中相当可观的一部分用於研究分形系统。在过去的一年里，大约有半打学 术会议是关於这个主题的。为什麽?”〔２０〕 看得出来，卡丹诺夫来者不善。他接着说：“但首要的是，什麽是分形?不同人以不 同的方式使用‘分形’这个词，但都同意分形对象像中国套箱或者俄罗斯套娃娃，包含层 层嵌套的结构。”文章主体部分回顾了扩散置限凝聚(DLA)模型以及分维的计算，接着又 开始了发问。 他说，不幸的是分维测度并不能有效区分不同的对象，虽然也有人给出分维以外的其 他指标，“但这一领域的未来发展有赖於建立更本质的理论基础，在这个基础上应该能 够导出现象层次的几何形式。如果缺少这样一个基础，就不可能准确地确定什麽样问题 有可能具有有趣的答案。人们可以希望，甚至期待，最终要发展出类似威尔逊(Kenneth Wilson，曾获物理学诺贝尔奖)重正化方法一样的理论基础，来使这一主题漂浮的船舶稳 固下来。”“没有那样的基础，许多分形工作似乎显得肤浅，甚至有些乏味。在各种各 样模型的基础上实施计算机模拟，然後将结果与真实世界的情况对比，这不难，简直太 容易了。但是，缺少组织原则，这一领域就会堕落为有趣物种和简易分类的动物园。尽 管这一领域所基於的现象观察十分美丽和精致，但分形的物理学，无论如何是有待诞生 的学科。”〔２０〕 《今日物理学》4月份在“研究与发现”栏目中又刊出记者列维(Barbara G.Levi)写 的一篇报导《新的整体分形形式化(formalism)描述了通向湍流的道路》,〔２１〕主要 讲了费根鲍姆发现周期倍化分岔普适常数以及许多人的实验验证，特别提到分形的新的 形式化描述，写下了公式 pi=lαi(l)，其中l是小的距离，pi是机率，αi是标度指数。 标度指数取值有一定的范围，其分布构成奇异性谱，用函数f(α)表示。可以粗略地把f设 想为熵。这说 的是多〔标度〕分形。接下去文章用大量篇幅讲述各种具体研究，以及以 α为横坐标、f(α )为纵坐标做出来的曲线图。有关思想来源只在一处简单地提到芒德勃 罗的名字。 芒德勃罗看了这两篇文章大为不悦，给编辑部去了一封信，刊於《今日物理学》9月 号，题目是《多分形与分形》。〔２２〕他首先针对卡丹诺夫的提问作了回答：“卡丹 诺夫问‘分形为什麽这麽多事’，我们看到现在答案部分在於他本人以及他的亲近同伙的 工作都与‘多分形’有关。”芒德勃罗在这封信中特别补充了自己早期关於多分形的贡 献。“1968 年我在关於发达湍流的工作中第一个提到了多〔重〕分形，70年代我发表了 有关此问题的大量论述。”他一口气提到他独立撰写与合作完成的十余种文献，目的只 有一个，强调他最先 提出了多〔重〕分形的思想。全文最刺激的话是：“无论怎样，来 自芝加哥的关於(多)分形 的最新研究，令我感受到作为一位父亲的骄傲，也许不久就要 当祖父了。” 不过应当指出“多〔重〕分形”一词是弗里茨和帕里西命名的，当然他受到了芒德勃 罗的影响(如1974年的文章)，後来弗氏又对多分形形式化进行了改进。芒德勃罗也承认这 一点。 芒氏又讲道：“尽管我70年代的论文既难写更难读，但它们包含一些至今没有超越或 者没有重新发现的思想。特别地，我发表在《统计模型与湍流》一书中的论文(1972年， 题目为《阵发湍流中与能量耗散分布有关的对数正则假设的可能细化》)包含多分形测度 的有用描述。”他还让人们注意1980年在哈佛大学时与一伙同事们(如杰芬(Y.Gefan)和 阿哈罗尼等)合作发表的多篇论文。这些同事完全站在芒氏一边，其中阿哈罗尼是芒氏的 重要追随者，1989 年10月他与费德在法国专门举办了一次研讨会为芒氏65岁生日祝寿， 并组织出版了纪念文集 (见1989年出版的《物理学38D》杂志)。 在这封信的结尾芒氏写道：“扩散置限凝聚(DLA)及其各个变种确实只是被发现和描 述，还没有完全解释清楚。描述先於理论是科学发展的通常模式。但是，看看在短短不 到6年的时间里已变得彻底可理解的所有硬科学!看看关於逾渗网瀑涨的知识，以及分形 形状对物理学所产生的奇妙的、多样性的影响和修正吧!” 芒德勃罗卷入的第二个争论远胜过第一个。这次发难者是早年毕业於圣克鲁兹加州大 学、现任圣路易斯州华盛顿大学的数学家克兰茨(Steven G.Krantz)，他的研究方向是函 数论和复分析的几何方法。此人爱好广泛，後来(1990年)还在同一刊物上发表一篇《数 学轶事》，专门讲述了柏格曼(Stefan Bergman,1898-1977)、贝塞克维奇(Abram S. Besicovitch,1891-19 70)、哥德尔(Kurt Go..del,1906-1978)、莱弗席兹(Solomon Lefschetz,1884-1972)和维纳的一些令人发笑的故事。 好在那些数学家早就去世了，讲述的故事真假死无对证，不过这一次(1989年)他却惹 了麻烦 。1988年秋克兰茨想对两本书《分形图象科学》和《分形之美》作一评论，先徵 得了美国数学会会刊书评编辑的同意。编辑斯托特(Edgar Lee Stout)很快收到稿子并同 意发表，校样。 1989年1月中旬出来後克兰茨故意复印了一些让人们传看，特别送给芒德 勃罗一份。芒德勃罗阅毕表示强烈反对，并写了一篇反驳文章。後来数学会怕惹事，建议 克兰茨撤回书评稿另投他处。克兰茨也非常生气，堂堂美国数学会怎麽能出尔反尔。最後 书评连同芒德勃罗的反驳一同刊登在很有名的《数学信使》(The Mathematical Intelli- gencer)杂志1989年第4期上。〔１４〕 克兰茨的书评写得很长，只是稍带评论一下提到的那两部当时影响极大的书，文章的 中心是冲芒德勃罗和分形几何学来的。开篇温和地从公众理解数学谈起，不久就到了关 键：“但是 ，目前数学中有一项进展由於其潜在的易理解性，可能使其他数学宣传相形 见绌，这就是分形理论。尽管现在称作分形集合的东西已早被研究了(如在调和分析、几 何测度论和奇异性 理论中)，但芒德勃罗起了‘分形’这个词，并使之流行起来。” 接着引用了《分形之美》中芒德勃罗一段得意的、极容易引起反感的话，然後评论说 ，有人竟认为分形是自微积分以来最伟大的数学思想。但他认为根本不是这麽回事。“ 像微积分的创立者们一样，分形几何的奠基人也造就了一批有志於此事业的中坚队伍。 他们不会因为缺乏严格性而受阻，因为他们分享着最近300年来辛勤积累的智慧，即使到 目前还没有普遍接受的‘分形’定义。情况似乎是，他们不证明定理(显然分形几何学家 们不证明定理)时，是不需要定义的。分形几何与微积分的显着差别是，分形几何没有解 决任何问题。我不清楚它是否创造了任何新的东西。”可以看出火药味是颇浓的，而这 里见到的还是修改後、语气有所缓和的稿子。 克兰茨还特别提到要把目前不适当归於“分形”标题或者大伞之下的真正数学拿走， 至少是划清界线，他认为分形几何学只是一个空架子。他认为像“轮廓使人想起一只狗 的头，上部像尼斯湖的妖怪。在自然界中其分维数D比欧氏空间维数E要大0.2到0.3的形状 似乎特别多。典型的海岸线的分维大约是1.2，地形约为2.2，而云彩约为3.3”这类描述 根本不像是科学。“当人们翻开这两本书时，似乎分形几何是一门科学，显然指数学。 但是我在两本书中任何一处看不到一个定理，也几乎没有定义。如前面指出的，对‘分 形’一词没有明确的定义。作为一个数学家，我觉得这不是一个好兆头。”“我不认为 芒德勃罗证明了任何定理作为他的研究结果，不过这也并非他所声称要做的事。用他自 己的话，他是一位科学哲学家 。”“芒德勃罗建议分形几何学家也利用电脑作图来提出 假设和猜想。但作分形研究的人提出的假设和猜想是就事论事的，他们产生图形是为了 得到更多的图形，而不是为了得到更深刻的思想。即使这些图形偶然会使熟练的数学家 证明出好的定理，这似乎是碰碰运气而已 。” 克兰茨的书评特别评论了关於复叠代的研究，他故意抬一个贬一个，认为道阿迪和哈 伯德(J .H.Hubbard，道阿迪以前的学生)的工作继承了朱丽亚和法图(Pierre Fatou,1978- 1979)的传统，是真正出色的数学。“‘芒德勃罗集(简称M集)’并不是由芒德勃罗发明的 ，很清楚在“芒德勃罗集”这个词被制造几年之前，文献中就清楚地出现过(指布鲁克斯 (Robert Brooks)等人1978年的会议论文，1981年出版)。事实上法图和朱丽亚早就研究了 叠代函数 z→z2+c，如今芒德勃罗至少是由於与这此有关，而得到不少荣誉。”克兰茨还 就“ 外尔斯特拉斯-芒德勃罗函数”的命名提出疑问，不过这算不了什麽，芒氏也巧妙地 作了回 答:实际上作这样称呼的是着名科学家伯瑞(Michael Berry),WM函数具有自仿射性 质，而W函数不具有。 克兰茨认为虽然道阿迪等对动力系统、叠代函数作了出色研究，“但是这些数学家们 不研究分形，他们证明漂亮的定理。分形几何之所以得到数学界如此高的赞扬，实际上 是间接称颂道阿迪、哈伯德、沙斯顿(Willian Thurston)和其他人的工作。”“我发现 麻烦的是，公众对於当今数学家们正在从事的工作的理解大部分是由於读了关於分形的 书，读了格莱克的《浑沌》(Chaos)一书，读了那些包含长期间的猜测和不正确的证明的 书籍，来获得的。 ……这两部书造成了可怕的误导。分形理论和浑沌理论还处於襁褓中 。现在就讲述它们是否能篷勃发育为成熟的学科为时尚早。”〔１４〕 克兰茨的文章还挑起了另一个敏感问题：“对分形理论的过分宣传导致了对数学发展 的有害的官方政策。在一些圈子中，得到购买产生分形图形的硬体的经费，比支持研究 代数几何来得容易。代数几何是经得住时间考验的，而分形几何还没有，人们一定会奇 怪，是怎样的考虑导致这样的经费资助决策。我个人的看法是，官僚机构比较容易认同 对硬体的投资而不是对思想的投资。无论怎样，对这种政策造成的长期效果的预测令人 沮丧。”。最後的结论是 ：“关於它们形成一门新的学科，或者形成自然界中一种新的 分析语言这一断言，我想说， 分形理论在这方面所作出的贡献是非本质的。总之，皇帝 没有着穿衣。” 克兰茨的批评十分坦率，有不少也的确击中要害，但总体上似乎过火了，多少有些“ 红眼病 ”之嫌。我们还是看看芒德勃罗的反应吧。 他先作了一个有趣的开场白：“看看数学的历史，数学界回到了具有灵活性和多元论 的时代 ，每个人都有权力表明他的心情。”之後着重就“芒德勃罗集”的优先权作出了 反应，这对 L来说的确很重要，公众(特别是能够上微电脑作图的人)主要是由芒德勃罗 集而知道分形的。自然扯到布鲁克斯与马蒂尔斯基(J.Peter Matelski)1978年写成1981 年发表出来的文章(刊於一部论文集中)。准确说，虽然芒德勃罗於1979-1980年也研究了 二次复叠代，大概也独立发现了M集，但布鲁克斯发现得更早些。论文写成时间一个是 1978年，一个是1980年(或 者再早些算1979年)；但发表时间正好倒过来了，一个是1981 年，一个是1980年。论文集显然比杂志论文刊出周期长。芒氏不愿承认发现的先後，但 又不好正面反驳，於是找到另外几个理由：1)指出布鲁克斯只给出了M集的粗糙版本；2) 是芒德勃罗本人大力宣传了M 集；3)正是芒德勃罗吃饭的时候花大量时间向道阿迪讲述M 集，促使道阿迪与其学生哈伯德暂时放下手头的工作而专心研究M集的性质。芒德勃罗指 出，他在沙利文(Dennis S ullivan,也是道阿迪以前的学生)的CUNY讨论班上向米尔诺 (J.Milnor)和沙斯顿讲述M集 时，M集还不曾归於任何人的名下。〔14〕 M集合究竟是怎样开始冠以芒德勃罗的名字，现在还不清楚。但这并不是什麽了不起 的 事情，数学史上张冠李戴的事多着呢。比如：1)电脑辅助几何设计中，利用伯恩斯坦 (Bernstein)多项式可得出工程设计中非常有实用价值的比泽尔(Pierre E.Bezier,1910- ) 曲线，这种算法雪铁龙汽车公司工程师卡斯特乔(de Casteljau)也独立地做了同样的工作 ，只是没有宣传。〔39,40〕)利用复函数去计算实积分的值，欧拉(Leonhard Euler,1707 -1783)和拉普拉斯(Pierre-Simmon Laplace,1749-1827)都有优先权。3)在常微分方程研 究中，关於富克斯(Immanuel Lazarus Fuchs，1833-1902)型函数和克莱因(Christian Felix Klein，1849-1925)型函数也存在一些争议。庞加莱将克莱因研究过而富克斯没有 研过的那种函数命名为富克斯型函数，遭到克莱因的抗议，於是庞加莱马上将自己新发现 的一种函数命名为克莱因函数，然而克莱因本人从来没有考虑过这种函数!〔41〕 芒德勃罗在为自己争优先权时不小心又伤了布鲁克斯，後者1990年在第1期《数学信 使》中反驳了芒氏。布鲁克斯在给编辑的信中说：“至於谁发明了现在称作芒德勃罗集 的东西，我认为应当牢记：大约在20年代法图的头脑中对此就有一幅完整的图象。毫无疑 问，如果法图有机会接触现代电脑的话，他就可能并且已经绘制出马蒂尔斯基、芒德勃罗 和我60年後出来的完整图形。这麽多年来，工作在这一领域的其他许多人也一定能够做到 。坦率地说，生活在电脑革命的时代，我很难自作主张拥有某种荣誉。” 芒德勃罗曾说：马蒂尔斯基和布鲁克斯只是接近於那种将被证明是特殊的东西，但他 们对於这幅图形并没有理解。布鲁克斯反问道：“我不知道他对我们理解什麽或者没有 理解什麽，怎样那麽有把握!我们特别不喜欢发表带有哲学思辨性质或者半生不熟的方案 。要害在於句子的前半部分。在所有这些大吵大嚷之後，如果芒德勃罗真的相信这个集 合有些特殊，那麽他一定言不由衷。正如英国海岸线没什麽不同於世界上所有其他海岸 线一样，芒德勃罗集也只是整个奇妙的数学宇宙中的一个(当然既不是第一个也不是最後 一个)，它反射出自然界与思维世界中各种类型的美与精巧。” 在1990年第1期《数学信使》中还刊发了卡丹诺夫对上述讨论的回应，不过他只字未 提孰是孰非，而是补充评论了一下先前提到的两部书，这为它们很有价值，其中的一部 他还推荐给自己的学生阅读。 另外芒德勃罗还就克兰茨说他是“科学哲学家”进行了辩白，说那只是克兰茨的论断 。芒氏称自己是“实干家”(doer)，写的文章也都发表在实实在在的数学、科学和艺术 杂志上。很清楚，在他们的争论中，双方都认定“科学哲学家”只是一些善於夸夸其谈、 只知道评论别人工作的一伙人。实际上呢?大家心里都清楚。 克兰茨并不服输，1989年第4期《数学信使》还为他留了一小块再反驳的空间，他讲 了这样一段再次让芒氏难受的话：“布鲁克斯和马蒂尔斯基的思想是在1978年的一次会 议上提出的，至於芒德勃罗的早期贡献可能在1979年到1980年之间。《今日物理学》的 编辑列维在1986 年4月的文章中介绍了卡丹诺夫的工作，这工作用的是统计力学方法而不 是分形几何方法。 列维描述这一深刻的科学研究工作时用了分形的语言，芒德勃罗表示 预设，这正好提供一个例子，说明分形几何学家借用其他学科的出色成果来装点自己的 倾向。” 抛开情感因素，克兰茨对分形几何的批评是有意义的，分形几何的确存在他所指出的 若干不成熟性、不严格性，但是这不应该归罪於一个人，特别不能归罪於为这一新学科 做出重大贡献的创始人芒德勃罗。责任应该由科学共同体集体承担，其中他自己也有份 。当然由於涉及一些个人利益，芒德勃罗过分敏感，作为领袖他主动应战。实际上芒德 勃罗并没有争回什麽 (M集的命名已成事实，谁也改变不了)，反而影响了自己的公众形象 ，使人觉得他是一个过分计较的人。芒德勃罗大概没有研究过大众传播学，他应该知道 ，人不出名时，公开的争论对自己有利，而当自己出名时，公开争论只能给自己抹黑。 有人曾说芒德勃罗这个人有才无德，他与几乎所有同事都争执，甚至把别人指责他的 把戏转手用於攻击别人，例如他曾攻击非线性科学同一阵地的费根鲍姆，指出他的周倍 化普适性过程并不新鲜，一个叫米尔堡(P.J.Myrberg)的人早在1962年就发现了云云。这 种说法有些过火，其实芒氏与多数同事都相处得很好，如与汉德尔曼(S.W.Handelman)、 沃斯(Richard F. Voss)、拉夫(Mark R.Laff)、诺顿(V.Alan Norton)及迈肯娜(Douglas M.McKenna)等。 --

※ 发信站: 批踢踢兔(ptt2.cc) ◆ From: 61.223.144.102 -- 在细雨的午後 书页里悉哩哩地传来 " 周期3 = ? " 然而我知道 当我正在日耳曼深处的黑森林 继续发掘海森堡未曾做过的梦时 康德的诺言早已远离......... 远来的传教士静静地看着山涧不断反覆叠代自己的 过去 现在 和 未来 於是仅以 一颗量子浑沌 一本符号动力学 祝那发生在周一下午的新生 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.102.37