※ [本文轉錄自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 標題: 芒德勃羅：沿著博物學傳統走來(5) 時間: Mon Oct 18 04:59:06 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 標題: 芒德勃羅：沿著博物學傳統走來(5) 時間: Sun Oct 17 22:14:06 2004 經濟學中的“穩定分布” 現在查到芒德勃羅一共發表18篇經濟學論文(也許會有幾篇的出入)，主要涉及《經濟 學季刊 》、《政治經濟學雜誌》、《計量經濟學》、《商業雜誌》、《國際經濟評論》 、《交叉科學評論》、《運籌學研究》、《經濟學與統計學評論》、《經濟與社會測度年 刊》、《應用經濟學》等，發表時間集中在1959年至1973年。綜觀芒氏的論文和專著， 他只關心一個核心的經濟問題——收入分布以及與之有關的價格問題。據他人本講，他 對經濟學中的帕累托(Vilfredo Pareto,1848-1923)分布的研究從1957年在哥倫比亞大學 和康奈爾大學的時期就開始了，然後在法國里爾大學和綜合工科學校繼續了這項工作。 1973年以後他義無反顧地離開了經濟學，專心發展“分形幾何學”。與在其他學科一樣 ，經濟學界並沒有輕易接受他的非正統觀點，但芒德勃羅已經得到自己想得到的東西， 他並不在乎經濟學界當時能否承認他。 米羅夫基(Philip Mirowski)1995年評論說，芒德勃羅的經濟學研究在經濟學團體內 引起過兩次巨大風波，一次是在60年代末，一次是在80年代末。第一次是因為芒氏的觀點 攻擊了當時占支配地位的計量經濟學和資產定價理論，第二次是因為芒氏在非線性動力 學運動中出盡風頭，經濟學家受“渾沌”(chaos)的影響,間接評論了芒氏的早期研究工 作。兩次反響的主流都是懷疑芒氏的理論和方法，既使有一些人受芒氏論文的激勵，轉 而注意自己未曾考慮的方面，也不相信芒氏的理論。 芒德勃羅最早關注經濟學問題是從關於收入分配的帕累托定律(Pareto's law)開始的 ，這個定律的形式頗像他在語言學詞頻分布中注意到的齊普夫定律( George Kingsley Zipf's law)。意大利經濟學家帕累托曾專門分析過收入分布資料，他發現收入分布具有 如下特點： N=N_0x-b， 其中N_0是總人口數，x是收入水平，N是收入不低於x的人口數，b為參數。芒德勃羅後來 將指數b解釋為分維數D。這個公式的含義是，收入水平越高，則收入高於這一水平的人 口越少。現在甚至不清楚帕累托是否用最小二乘法或者別的統計程序實際導出過這個公式 ，他當時認定收入分布對於人為干預是不變的。用機率的觀點表示，此定律的形式為： 1-F(u)=Pr(U(t)＞u)～(u/u*)-α～Cu-α, 其中α稱帕累托指數，一般介於(1，2)之間，有時也可以達到(4，5)之間。此式與上面 的公式是等價的。芒德勃羅也稱P(u)=Pr(U＞u)=Fu-D類型的分布為雙曲分布 (hyperbolic distributions)。 直到芒德勃羅1960年左右開始將帕累托分布重新用於經濟學，此分布在經濟學界幾乎 沒什麼影響。他的論文《帕累托-萊維定律與收入分布》、《穩定帕累托隨機函數與收入 的乘差分》、《某些推斷價格的差分》、《帕累托分布與收入最大化》、《統計經濟學 的新方法》等發表後，經濟學界不以為然。正統經濟學家認為資料擬合得並不佳，並且 認為芒氏的理論需要微觀證據。 芒德勃羅看重的不是資料擬合到何種程度，而是收入分布的長時尾(fat tails)現象 在尺度變換下具有不變性，即個人收入分布、廠商尺度的收入分布和城市尺度的收入分 布都具有這樣的“尾巴”。“長時尾”現象暗示存在一種非高斯意義上的穩定分布。芒 德勃羅熟悉他老師萊維的工作，立即將它與萊維的“穩定分布”聯系起來。 簡單說來，穩定分布的含義是，多個獨立同分布隨機變量序列經過適當的線性總和 (linear aggregation)後，其分布仍然保持不變。穩定分布是無窮可分的，對應於穩定分 布的隨機過程是穩定過程。穩定分布是比常態分布更廣泛的一類分布，其中包含了常態 分布。標準常態分布與常態分布都是穩定分布，柯西分布也是一種穩定分布，除此之外 還有沒有別的重要的穩定分布呢?這正是芒德勃羅急於思考的。實際上他的老師們已經解 決了這個問題，萊維和弗雷歇(Maurice-Rene Frechet,1878-1973)細緻地研究過類似問 題，指出負冪律分布就是一種重要的穩定分布(其中指數滿足關係0＜b＜2)。芒氏1961年 的文章《穩定帕累托隨機函數與收入的乘差分》就是獻給綜合工科學校的萊維教授的，而 1962年的文章《帕累托分布與收入最大化》則是獻給巴黎大學(Sorbonne)的弗雷歇教授 的。在芒氏的文章中，帕累托分布也稱帕累托-萊維分布。 芒德勃羅的經濟模型中具有尺度變換下的“不變性”，他認為這十分關鍵，僅僅憑這 一點就值得認真研究。他認為負冪律分布是除了高斯常態穩定分布外最簡單、最值得考 慮的一種穩定分布。它就像玻意耳(Boyle)的氣體模型一樣，可能與實際有些差別，但它 是一種重要類型，一種簡單的理想情況，只有研究清楚了這種理想情況，才能推而廣之 從而考慮更複雜的情形。正如我們不能說理想氣體(perfect gas)模型沒有價值一樣，也 不能說帕累托-萊維 分布過於理想化而沒有實用價值一樣。從這種意義上看，經濟學界對 他的反駁其實均不構成威脅。芒德勃羅是從邏輯分類的角度、從數學可能性的角度思考 問題的，其模型撇開經驗事實仍然具有理論價值。實際上1963年洛倫玆(Edward Lorenz, 1917- )的《確定性非周期流》 一文(在非線性科學史上具有重要地位)也具有此性質，洛 倫玆方程只是大氣運動的一種極度的理論抽象和簡化，它甚至可以與實際的大氣運動無關 ，但仍然具有重要理論意義和間接的實際意義。也正因為如此，芒德勃羅與洛倫玆的理想 模型的應用也就不限於什麼經濟學或者氣象學，而具有普遍性，可以擴展到相當多的學科 。芒德勃羅實際上也是這樣做的，他不久後就將萊維穩定過程用於湍流研究，特別強調了 “萊維飛行”，現在看來他的確是先行者， 歷史將公正地記錄下他的先驅性工作。 以棉花價格波動為例來講，芒德勃羅的理論的特點在於，它不是考慮在某一個特定層 次產生價格變動的規律，而是跨越層次，尋求尺度變換下的不變性。棉花價格是一種理 想的資料源，經濟學家對其變動的傳統看法是，短期變化與長期變化沒有關聯，由快漲 落導致的瞬間價格變化是隨機的，而長期的價格波動是由於顯然的總體經濟形勢和戰爭 之類重要事件決定的 。因此傳統經濟學處理此問題的辦法是，在確定性的過程中加上隨 機的噪聲。芒德勃羅卻把不同層次統一起來，發現日變化曲線與月變化曲線的一致性。 對於股票價格，他也作了類似的分析。這未必是最好的理論方法，但至少是一種可能的 理論方法，而以前人們確實忽視了它。但經濟學界由於長期習慣於自己那一套思路，對 芒氏的做法自然有反感，攻擊他的最好辦法就是指出其曲線擬合不理想。 在研究股票價格變化時，芒氏極力反對“價格連續變化”的模型，認為這種照搬牛頓 力學於經濟學不濟於事。在經濟系統中，小的連續變化可以引起突然的不連續變化。基 於這種考慮他否定了濾波預測方案和各種人為湊出高斯分布的辦法。在經濟學研究中他 提出了標度原理 (scaling principle)。 設X(t)為價格，logX(t)是獨立增量過程，即logX(t+d)-logX(t)具有獨立於d的分布 ，其中只需引入一個標度因子。芒氏立即想用此模型得出一些有意義的結果，但首先要 面對的是這種模型的奇怪性質(實際上這竟是他所期望的)。芒氏大膽地假設 logX(t+d)- logX(t)具有“無窮方差”!他第一次用符號V表示方差。以前人們想當然地假設方差是有 限量，發散的情況根本不予考慮，也不應該考慮。用芒氏語言講，人們似乎患了“無窮方 差綜合症”。具有反叛色彩的芒氏假定V=∞自有他的考慮：“不用說，假定V=∞的成功後 果是，我就很容易使曲線具有無窮長度、曲面具有無窮面積。”(第37章)於是後來提到的 “英國海岸線長度”、皮亞諾曲線填充、柯赫雪花曲線長度等問題都有了理論基礎，當然 其他思想淵源也曾幫助他得到了那些結果。但作者認為，海岸線問題是後來的事。那時他 已經有了基本結論，他不斷翻閱數學“故紙堆”，也不斷發現一些闡述得更佳的論述，但 這些新發現的材料當初對於他形成基本的分形思想並未產生影響。在撰寫專著時，他當然 要重新規劃，以一種更直接、更通俗、更符合邏輯順序(發現過程並不符合通常的邏輯)的 方式敘述出來，甚至更多的是考慮讀者的反應。 到了80年代經濟學界受非線性動力學的影響不得不對芒氏的早期研究作出評價，在此 之前克拉克(P.Clark)的博士論文以及後來的自回歸條件異方差(ARCH)、廣義自回歸條件 異方差(GARCH)模型回避了芒德勃羅開創的路線，仍然假設噪聲服從於一種基本的高斯分 布，但有一個變化的二階矩。他們的文章引用了芒氏的假設，但設法避免那類假設。但 這種處理方法仍然沒有逃出分數階自回歸滑動平均(ARIMA)的套路。到後來，許多經濟學 家更多地採用GP關聯積分算法(Grassberger-Procaccia兩人提出的)求時間序列的分維數 ，用BDS統計(Brock -Dechert-Scheinkman三人在關聯積分的基礎上發明的)檢查經濟系統 中是否存在非線性結構。但是正如米諾夫基指出的，經濟學界的這些人物並沒有認真吸 收芒德勃羅的思想，而是 應付、回避矛盾，他們既排斥萊維穩定分布也排斥渾沌。芒德 勃羅早已摒棄了“不是決定論就是隨機論”的兩極化選擇，他認為經濟現象比較複雜， 應當用更精緻的隨機過程或者渾沌動力學描述，應當放棄牛頓經典力學的套路，由原子運 動推出一切。本質上在經濟學問題上芒德勃羅採用的是一種類似統計物理/熱力學的現象 學的方法，這一性質還未被經濟學界深入理解。 當芒德勃羅離開經濟學時，他得到了什麼?他似乎高興地帶走了價格變動的自相似觀 點、標度律的觀點，以及一種似乎無人注意但有著各種潛在應用價值的“萊維穩定分布” 。布朗運動與萊維飛行 1785年荷蘭醫生英根豪茨(Jan Ingenhausz，1730-1799)首次報告了布朗運動，他發 現花粉顆粒在酒精溶液表面運動。但這種現象被冠以布朗(Robert Brown,1773-1858)這 個名字。布朗1828年發表了他的更細緻的觀察和研究。這種現象直到1905年，才由偉大 的愛因斯坦(Alb ert Einstein,1879-1955)用分子運動論一舉闡述清楚，布朗運動是由於 流體分子熱運動不斷撞擊微小顆粒造成的宏觀現象。 實際上1900年在法國，龐加萊的一個名叫巴歇列(Louis Bachelier,1870-1946)的學 生， 在其論文中就已經發展了一種布朗運動理論，只因為他的論文是關於股票市場漲落 問題的，未引起物理學家的注意。巴歇利引入了今日稱作查普曼-柯爾莫哥洛夫鏈的方程 ，並導出了隨機過程的擴散方程，指出機率可以像熱一樣擴散。由於巴歇利的論文不為 數理學界所知， 它對後來布朗運動的物理學沒有產生直接影響。巴歇利研究的經濟問題 中沒有摩擦、沒有斯托克斯定律，也沒有阿弗伽德羅(Amedeo Avogadro,1776-1856)常數 。芒德勃羅在1977年出版的專著《分形：形、機遇與維數》中，特別以很多的篇幅描述 了巴歇利的簡歷和研究成就，雖說芒德勃羅極擅長從舊紙堆中挖掘一些沒有注意的“古 怪”東西，但用如此長的篇幅還不多見。 愛因斯坦的著名論文《熱的分子運動論所要求的靜液體中懸浮粒子的運動》1905年發 表在《物理學雜誌》。〔３１〕愛因斯坦預測，布朗粒子隨機漫步(random walk)均方位 移( mean squared displacement)隨時間線性增長，乘以一個與阿佛加得羅常數有關的因 子: λx=[KF(]2Dt[KF)]，用現在的符號表示則有〈x2(t)〉=2Dt。1908年這一結果立即 被佩蘭用來測定阿佛加德羅常數，進而為“原子”的存在性提供了重要證據。佩蘭1926 年榮獲諾貝爾物理學獎。從那時起，布朗運動成為重要的研究對象。 但是問題並沒有徹底解決，或者說研究才剛剛開始。從數學上看，布朗運動涉及許多 艱深的內容。對於離散布朗軌跡，可以在固定步長的格子上研究簡單的隨機行走，但對於 連續情形卻遇到了嚴重的困難：布朗粒子運動路徑處處不可微，粒子的速度無法定義。 這時已有了勒貝格的測度理論，而又恰好出現了一個偉大的人物——維納，他抓住這個 時機(大約於1921 年)，利用測度理論，發展了一整套漂亮的隨機過程理論，後來稱之為 維納過程或者布朗運動。芒德勃羅早就把布朗運動視為分形的一個典型，並將布朗運動 軌跡視為二維分形。 維納開創的布朗運動數學，已成為機率論的一個經典典範(paradigm)。後來柯爾莫哥 洛夫(A.N.Kolmogorov,1903-1987)於1931年奠定了機率論的基礎，日本學者伊藤清(Ito) 又發展了維納的理論，提出隨機積分等概念。 1968年芒氏與尼斯(J.W.van Ness)合作發表了一篇重要論文《分數布朗運動、分數噪 聲及應用》，1969年與瓦利斯(J.R.Wallis)合作發表論文《帶有分數高斯噪聲的電腦實驗 》，19 71年發表論文《一種快速的分數高斯噪聲發生器》等。實際上芒氏所使用的若干 新工具、新方法，早在這之前他就十分熟悉了，已經在通信工程和經濟學領域部分嘗試過 芒氏1968年的文章通過引入了“記憶”推廣了布朗運動，分形布朗運動的概率分布為 p(x,t)=[SX(]1[][KF(]2πσ2(t)[KF)][SX)]exp[JB((][SX(]-x2[] 2σ２(t)[SX) ][JB))] 其中σ2(t)=t2H，H的取值範圍一般限制在(1，1/2)之間。當H=1/2時，正好對應於布朗運 動。這一推廣意味著隨機行走的均方位移隨t2H而增加。當H較小時擴散較慢 ，當H較大時 擴散較快。在湍流中H可以取非常大的值。 如果隨機行走發生在分形體上(如逾滲(percolation)格子)，則運動行為不同於一般 的布朗運動，運動由於空間背景的不同可以時快時慢，表現出不均勻跳躍。H的取值可以 分成兩類，當H小於1/2時，均方根位移慢於線性增長，當H大於1/2時，均方根位移快於 線性增長 。其中后者非常有趣，涉及著名的“萊維飛行”。 布朗運動的基本思想是隨機漫步，所使用的基本數學是高斯常態分布，隨機行走者t 時間後的位置分布是高斯型的，方差正比於時間。對於一維的N步隨機行走，每一步的步 長x是一隨機變量，其概率分布為p(x)，具有0均值。法國數學家萊維提出這樣的問題：什 麼時候N步的總和的分布仍然具有與單步相似的(乘以一個標度因子)分布?這等於問，整體 與部分何時有相似性，因而很自然與分形有關。對此問題通常的想當然的回答是高斯過程 ，因為N步 高斯分布加起來仍然是高斯分布。但是萊維一般地證明了，此問題還有其他解 早在1853年柯西(Augustin-Louis Cauchy,1789-1857)就認識到對於N步可加(也叫穩 定)隨機過程，除了高斯分布作為其顯然解外，還存在其他可能的解。當把x實空間變換 為傅里葉(Jean-Baptiste-Joseph Fourier,1768-1830)k空間時，可加過程的可能機率 分布為〔１８〕 [AKp～D1]N(k)=exp(-N｜k｜β). 當β等於1時，便得到柯西分布，β等於2時對應於高斯分布。如今上式稱為萊維機率分布 應當說明的是，廣義的萊維穩定過程(sD_1+sD_2=sD，s_1X_1+s_2X_2=sX+常數)，僅 對三種極特殊的情況，可以解析地求出穩定機率分布。當x的絕對值很大時，返回到實x 空間，p(x)可以用｜x｜-1-β來近似。當β小於2時，顯然p(x)的二階矩無窮大 。這意 味著除了在高斯情形中，隨機行走(飛行)沒有特徵度。正是這一性質決定此類隨機漫步 是標度不變的分形。這種隨機行走好的性質在於自相似；壞性質在於具有無窮矩(infinite moments)，於是均方位移發散。 矩發散長期以來被認為是一個致命缺點，物理學家不願意看到發散性。只是由於芒德 勃羅的大力鼓吹，萊維的思想才一點一點被物理學界所理解，90年代中期“萊維飛行”成 了時髦的研究課題。在早些時候，在鼓吹、傳播萊維不變分布方面，芒德勃羅當然是唯一 的代表人物 ，這一點應特別提及。 萊維飛行的軌線是典型的分形，雖然不是處處不可微，但跳躍的步長可以變化。經過 一番處理，均方位移的發散性可以回避掉。特別地，一個隨機變量X具有無窮方差，並不 能否定X以機率1取有限值。例如柯西密度1/〔π(1+x2)〕變量幾乎總是有限的，但它具 有無窮方差和無窮期望。萊維飛行的宏觀軌跡是一系列折線或者孤立的康托爾塵埃點集。 一般情況下不考慮粒子在兩個端點之間飛行的中間過程，如果考慮兩次跳躍之間具有某 種速度，這種過程又叫作萊維行走(Levy walk)。人們可以問在不同的飛行片段中，在時 間t粒子的飛行速度是多少，這一定是某個與時間有關的有限值。但是平均飛躍狀況是 發散的。 從1977年的《分形》一書可以看出，芒德勃羅已經自如地將“萊維飛行”運用於各種 場合， 包括布朗運動、分形集團和星際物質分布，並且給出占7頁篇幅的圖形說明。遺憾 的是，科學界直到90年代才認識到這部分工作的重要性。 --

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