※ [本文转录自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 标题: 芒德勃罗：沿着博物学传统走来(5) 时间: Mon Oct 18 04:59:06 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 标题: 芒德勃罗：沿着博物学传统走来(5) 时间: Sun Oct 17 22:14:06 2004 经济学中的“稳定分布” 现在查到芒德勃罗一共发表18篇经济学论文(也许会有几篇的出入)，主要涉及《经济 学季刊 》、《政治经济学杂志》、《计量经济学》、《商业杂志》、《国际经济评论》 、《交叉科学评论》、《运筹学研究》、《经济学与统计学评论》、《经济与社会测度年 刊》、《应用经济学》等，发表时间集中在1959年至1973年。综观芒氏的论文和专着， 他只关心一个核心的经济问题——收入分布以及与之有关的价格问题。据他人本讲，他 对经济学中的帕累托(Vilfredo Pareto,1848-1923)分布的研究从1957年在哥伦比亚大学 和康奈尔大学的时期就开始了，然後在法国里尔大学和综合工科学校继续了这项工作。 1973年以後他义无反顾地离开了经济学，专心发展“分形几何学”。与在其他学科一样 ，经济学界并没有轻易接受他的非正统观点，但芒德勃罗已经得到自己想得到的东西， 他并不在乎经济学界当时能否承认他。 米罗夫基(Philip Mirowski)1995年评论说，芒德勃罗的经济学研究在经济学团体内 引起过两次巨大风波，一次是在60年代末，一次是在80年代末。第一次是因为芒氏的观点 攻击了当时占支配地位的计量经济学和资产定价理论，第二次是因为芒氏在非线性动力 学运动中出尽风头，经济学家受“浑沌”(chaos)的影响,间接评论了芒氏的早期研究工 作。两次反响的主流都是怀疑芒氏的理论和方法，既使有一些人受芒氏论文的激励，转 而注意自己未曾考虑的方面，也不相信芒氏的理论。 芒德勃罗最早关注经济学问题是从关於收入分配的帕累托定律(Pareto's law)开始的 ，这个定律的形式颇像他在语言学词频分布中注意到的齐普夫定律( George Kingsley Zipf's law)。意大利经济学家帕累托曾专门分析过收入分布资料，他发现收入分布具有 如下特点： N=N_0x-b， 其中N_0是总人口数，x是收入水平，N是收入不低於x的人口数，b为参数。芒德勃罗後来 将指数b解释为分维数D。这个公式的含义是，收入水平越高，则收入高於这一水平的人 口越少。现在甚至不清楚帕累托是否用最小二乘法或者别的统计程序实际导出过这个公式 ，他当时认定收入分布对於人为干预是不变的。用机率的观点表示，此定律的形式为： 1-F(u)=Pr(U(t)＞u)～(u/u*)-α～Cu-α, 其中α称帕累托指数，一般介於(1，2)之间，有时也可以达到(4，5)之间。此式与上面 的公式是等价的。芒德勃罗也称P(u)=Pr(U＞u)=Fu-D类型的分布为双曲分布 (hyperbolic distributions)。 直到芒德勃罗1960年左右开始将帕累托分布重新用於经济学，此分布在经济学界几乎 没什麽影响。他的论文《帕累托-莱维定律与收入分布》、《稳定帕累托随机函数与收入 的乘差分》、《某些推断价格的差分》、《帕累托分布与收入最大化》、《统计经济学 的新方法》等发表後，经济学界不以为然。正统经济学家认为资料拟合得并不佳，并且 认为芒氏的理论需要微观证据。 芒德勃罗看重的不是资料拟合到何种程度，而是收入分布的长时尾(fat tails)现象 在尺度变换下具有不变性，即个人收入分布、厂商尺度的收入分布和城市尺度的收入分 布都具有这样的“尾巴”。“长时尾”现象暗示存在一种非高斯意义上的稳定分布。芒 德勃罗熟悉他老师莱维的工作，立即将它与莱维的“稳定分布”联系起来。 简单说来，稳定分布的含义是，多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总和 (linear aggregation)後，其分布仍然保持不变。稳定分布是无穷可分的，对应於稳定分 布的随机过程是稳定过程。稳定分布是比常态分布更广泛的一类分布，其中包含了常态 分布。标准常态分布与常态分布都是稳定分布，柯西分布也是一种稳定分布，除此之外 还有没有别的重要的稳定分布呢?这正是芒德勃罗急於思考的。实际上他的老师们已经解 决了这个问题，莱维和弗雷歇(Maurice-Rene Frechet,1878-1973)细致地研究过类似问 题，指出负幂律分布就是一种重要的稳定分布(其中指数满足关系0＜b＜2)。芒氏1961年 的文章《稳定帕累托随机函数与收入的乘差分》就是献给综合工科学校的莱维教授的，而 1962年的文章《帕累托分布与收入最大化》则是献给巴黎大学(Sorbonne)的弗雷歇教授 的。在芒氏的文章中，帕累托分布也称帕累托-莱维分布。 芒德勃罗的经济模型中具有尺度变换下的“不变性”，他认为这十分关键，仅仅凭这 一点就值得认真研究。他认为负幂律分布是除了高斯常态稳定分布外最简单、最值得考 虑的一种稳定分布。它就像玻意耳(Boyle)的气体模型一样，可能与实际有些差别，但它 是一种重要类型，一种简单的理想情况，只有研究清楚了这种理想情况，才能推而广之 从而考虑更复杂的情形。正如我们不能说理想气体(perfect gas)模型没有价值一样，也 不能说帕累托-莱维 分布过於理想化而没有实用价值一样。从这种意义上看，经济学界对 他的反驳其实均不构成威胁。芒德勃罗是从逻辑分类的角度、从数学可能性的角度思考 问题的，其模型撇开经验事实仍然具有理论价值。实际上1963年洛伦兹(Edward Lorenz, 1917- )的《确定性非周期流》 一文(在非线性科学史上具有重要地位)也具有此性质，洛 伦兹方程只是大气运动的一种极度的理论抽象和简化，它甚至可以与实际的大气运动无关 ，但仍然具有重要理论意义和间接的实际意义。也正因为如此，芒德勃罗与洛伦兹的理想 模型的应用也就不限於什麽经济学或者气象学，而具有普遍性，可以扩展到相当多的学科 。芒德勃罗实际上也是这样做的，他不久後就将莱维稳定过程用於湍流研究，特别强调了 “莱维飞行”，现在看来他的确是先行者， 历史将公正地记录下他的先驱性工作。 以棉花价格波动为例来讲，芒德勃罗的理论的特点在於，它不是考虑在某一个特定层 次产生价格变动的规律，而是跨越层次，寻求尺度变换下的不变性。棉花价格是一种理 想的资料源，经济学家对其变动的传统看法是，短期变化与长期变化没有关联，由快涨 落导致的瞬间价格变化是随机的，而长期的价格波动是由於显然的总体经济形势和战争 之类重要事件决定的 。因此传统经济学处理此问题的办法是，在确定性的过程中加上随 机的噪声。芒德勃罗却把不同层次统一起来，发现日变化曲线与月变化曲线的一致性。 对於股票价格，他也作了类似的分析。这未必是最好的理论方法，但至少是一种可能的 理论方法，而以前人们确实忽视了它。但经济学界由於长期习惯於自己那一套思路，对 芒氏的做法自然有反感，攻击他的最好办法就是指出其曲线拟合不理想。 在研究股票价格变化时，芒氏极力反对“价格连续变化”的模型，认为这种照搬牛顿 力学於经济学不济於事。在经济系统中，小的连续变化可以引起突然的不连续变化。基 於这种考虑他否定了滤波预测方案和各种人为凑出高斯分布的办法。在经济学研究中他 提出了标度原理 (scaling principle)。 设X(t)为价格，logX(t)是独立增量过程，即logX(t+d)-logX(t)具有独立於d的分布 ，其中只需引入一个标度因子。芒氏立即想用此模型得出一些有意义的结果，但首先要 面对的是这种模型的奇怪性质(实际上这竟是他所期望的)。芒氏大胆地假设 logX(t+d)- logX(t)具有“无穷方差”!他第一次用符号V表示方差。以前人们想当然地假设方差是有 限量，发散的情况根本不予考虑，也不应该考虑。用芒氏语言讲，人们似乎患了“无穷方 差综合症”。具有反叛色彩的芒氏假定V=∞自有他的考虑：“不用说，假定V=∞的成功後 果是，我就很容易使曲线具有无穷长度、曲面具有无穷面积。”(第37章)於是後来提到的 “英国海岸线长度”、皮亚诺曲线填充、柯赫雪花曲线长度等问题都有了理论基础，当然 其他思想渊源也曾帮助他得到了那些结果。但作者认为，海岸线问题是後来的事。那时他 已经有了基本结论，他不断翻阅数学“故纸堆”，也不断发现一些阐述得更佳的论述，但 这些新发现的材料当初对於他形成基本的分形思想并未产生影响。在撰写专着时，他当然 要重新规划，以一种更直接、更通俗、更符合逻辑顺序(发现过程并不符合通常的逻辑)的 方式叙述出来，甚至更多的是考虑读者的反应。 到了80年代经济学界受非线性动力学的影响不得不对芒氏的早期研究作出评价，在此 之前克拉克(P.Clark)的博士论文以及後来的自回归条件异方差(ARCH)、广义自回归条件 异方差(GARCH)模型回避了芒德勃罗开创的路线，仍然假设噪声服从於一种基本的高斯分 布，但有一个变化的二阶矩。他们的文章引用了芒氏的假设，但设法避免那类假设。但 这种处理方法仍然没有逃出分数阶自回归滑动平均(ARIMA)的套路。到後来，许多经济学 家更多地采用GP关联积分算法(Grassberger-Procaccia两人提出的)求时间序列的分维数 ，用BDS统计(Brock -Dechert-Scheinkman三人在关联积分的基础上发明的)检查经济系统 中是否存在非线性结构。但是正如米诺夫基指出的，经济学界的这些人物并没有认真吸 收芒德勃罗的思想，而是 应付、回避矛盾，他们既排斥莱维稳定分布也排斥浑沌。芒德 勃罗早已摒弃了“不是决定论就是随机论”的两极化选择，他认为经济现象比较复杂， 应当用更精致的随机过程或者浑沌动力学描述，应当放弃牛顿经典力学的套路，由原子运 动推出一切。本质上在经济学问题上芒德勃罗采用的是一种类似统计物理/热力学的现象 学的方法，这一性质还未被经济学界深入理解。 当芒德勃罗离开经济学时，他得到了什麽?他似乎高兴地带走了价格变动的自相似观 点、标度律的观点，以及一种似乎无人注意但有着各种潜在应用价值的“莱维稳定分布” 。布朗运动与莱维飞行 1785年荷兰医生英根豪茨(Jan Ingenhausz，1730-1799)首次报告了布朗运动，他发 现花粉颗粒在酒精溶液表面运动。但这种现象被冠以布朗(Robert Brown,1773-1858)这 个名字。布朗1828年发表了他的更细致的观察和研究。这种现象直到1905年，才由伟大 的爱因斯坦(Alb ert Einstein,1879-1955)用分子运动论一举阐述清楚，布朗运动是由於 流体分子热运动不断撞击微小颗粒造成的宏观现象。 实际上1900年在法国，庞加莱的一个名叫巴歇列(Louis Bachelier,1870-1946)的学 生， 在其论文中就已经发展了一种布朗运动理论，只因为他的论文是关於股票市场涨落 问题的，未引起物理学家的注意。巴歇利引入了今日称作查普曼-柯尔莫哥洛夫链的方程 ，并导出了随机过程的扩散方程，指出机率可以像热一样扩散。由於巴歇利的论文不为 数理学界所知， 它对後来布朗运动的物理学没有产生直接影响。巴歇利研究的经济问题 中没有摩擦、没有斯托克斯定律，也没有阿弗伽德罗(Amedeo Avogadro,1776-1856)常数 。芒德勃罗在1977年出版的专着《分形：形、机遇与维数》中，特别以很多的篇幅描述 了巴歇利的简历和研究成就，虽说芒德勃罗极擅长从旧纸堆中挖掘一些没有注意的“古 怪”东西，但用如此长的篇幅还不多见。 爱因斯坦的着名论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》1905年发 表在《物理学杂志》。〔３１〕爱因斯坦预测，布朗粒子随机漫步(random walk)均方位 移( mean squared displacement)随时间线性增长，乘以一个与阿佛加得罗常数有关的因 子: λx=[KF(]2Dt[KF)]，用现在的符号表示则有〈x2(t)〉=2Dt。1908年这一结果立即 被佩兰用来测定阿佛加德罗常数，进而为“原子”的存在性提供了重要证据。佩兰1926 年荣获诺贝尔物理学奖。从那时起，布朗运动成为重要的研究对象。 但是问题并没有彻底解决，或者说研究才刚刚开始。从数学上看，布朗运动涉及许多 艰深的内容。对於离散布朗轨迹，可以在固定步长的格子上研究简单的随机行走，但对於 连续情形却遇到了严重的困难：布朗粒子运动路径处处不可微，粒子的速度无法定义。 这时已有了勒贝格的测度理论，而又恰好出现了一个伟大的人物——维纳，他抓住这个 时机(大约於1921 年)，利用测度理论，发展了一整套漂亮的随机过程理论，後来称之为 维纳过程或者布朗运动。芒德勃罗早就把布朗运动视为分形的一个典型，并将布朗运动 轨迹视为二维分形。 维纳开创的布朗运动数学，已成为机率论的一个经典典范(paradigm)。後来柯尔莫哥 洛夫(A.N.Kolmogorov,1903-1987)於1931年奠定了机率论的基础，日本学者伊藤清(Ito) 又发展了维纳的理论，提出随机积分等概念。 1968年芒氏与尼斯(J.W.van Ness)合作发表了一篇重要论文《分数布朗运动、分数噪 声及应用》，1969年与瓦利斯(J.R.Wallis)合作发表论文《带有分数高斯噪声的电脑实验 》，19 71年发表论文《一种快速的分数高斯噪声发生器》等。实际上芒氏所使用的若干 新工具、新方法，早在这之前他就十分熟悉了，已经在通信工程和经济学领域部分尝试过 芒氏1968年的文章通过引入了“记忆”推广了布朗运动，分形布朗运动的概率分布为 p(x,t)=[SX(]1[][KF(]2πσ2(t)[KF)][SX)]exp[JB((][SX(]-x2[] 2σ２(t)[SX) ][JB))] 其中σ2(t)=t2H，H的取值范围一般限制在(1，1/2)之间。当H=1/2时，正好对应於布朗运 动。这一推广意味着随机行走的均方位移随t2H而增加。当H较小时扩散较慢 ，当H较大时 扩散较快。在湍流中H可以取非常大的值。 如果随机行走发生在分形体上(如逾渗(percolation)格子)，则运动行为不同於一般 的布朗运动，运动由於空间背景的不同可以时快时慢，表现出不均匀跳跃。H的取值可以 分成两类，当H小於1/2时，均方根位移慢於线性增长，当H大於1/2时，均方根位移快於 线性增长 。其中后者非常有趣，涉及着名的“莱维飞行”。 布朗运动的基本思想是随机漫步，所使用的基本数学是高斯常态分布，随机行走者t 时间後的位置分布是高斯型的，方差正比於时间。对於一维的N步随机行走，每一步的步 长x是一随机变量，其概率分布为p(x)，具有0均值。法国数学家莱维提出这样的问题：什 麽时候N步的总和的分布仍然具有与单步相似的(乘以一个标度因子)分布?这等於问，整体 与部分何时有相似性，因而很自然与分形有关。对此问题通常的想当然的回答是高斯过程 ，因为N步 高斯分布加起来仍然是高斯分布。但是莱维一般地证明了，此问题还有其他解 早在1853年柯西(Augustin-Louis Cauchy,1789-1857)就认识到对於N步可加(也叫稳 定)随机过程，除了高斯分布作为其显然解外，还存在其他可能的解。当把x实空间变换 为傅里叶(Jean-Baptiste-Joseph Fourier,1768-1830)k空间时，可加过程的可能机率 分布为〔１８〕 [AKp～D1]N(k)=exp(-N｜k｜β). 当β等於1时，便得到柯西分布，β等於2时对应於高斯分布。如今上式称为莱维机率分布 应当说明的是，广义的莱维稳定过程(sD_1+sD_2=sD，s_1X_1+s_2X_2=sX+常数)，仅 对三种极特殊的情况，可以解析地求出稳定机率分布。当x的绝对值很大时，返回到实x 空间，p(x)可以用｜x｜-1-β来近似。当β小於2时，显然p(x)的二阶矩无穷大 。这意 味着除了在高斯情形中，随机行走(飞行)没有特徵度。正是这一性质决定此类随机漫步 是标度不变的分形。这种随机行走好的性质在於自相似；坏性质在於具有无穷矩(infinite moments)，於是均方位移发散。 矩发散长期以来被认为是一个致命缺点，物理学家不愿意看到发散性。只是由於芒德 勃罗的大力鼓吹，莱维的思想才一点一点被物理学界所理解，90年代中期“莱维飞行”成 了时髦的研究课题。在早些时候，在鼓吹、传播莱维不变分布方面，芒德勃罗当然是唯一 的代表人物 ，这一点应特别提及。 莱维飞行的轨线是典型的分形，虽然不是处处不可微，但跳跃的步长可以变化。经过 一番处理，均方位移的发散性可以回避掉。特别地，一个随机变量X具有无穷方差，并不 能否定X以机率1取有限值。例如柯西密度1/〔π(1+x2)〕变量几乎总是有限的，但它具 有无穷方差和无穷期望。莱维飞行的宏观轨迹是一系列折线或者孤立的康托尔尘埃点集。 一般情况下不考虑粒子在两个端点之间飞行的中间过程，如果考虑两次跳跃之间具有某 种速度，这种过程又叫作莱维行走(Levy walk)。人们可以问在不同的飞行片段中，在时 间t粒子的飞行速度是多少，这一定是某个与时间有关的有限值。但是平均飞跃状况是 发散的。 从1977年的《分形》一书可以看出，芒德勃罗已经自如地将“莱维飞行”运用於各种 场合， 包括布朗运动、分形集团和星际物质分布，并且给出占7页篇幅的图形说明。遗憾 的是，科学界直到90年代才认识到这部分工作的重要性。 --

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