※ [本文轉錄自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 標題: 芒德勃羅：沿著博物學傳統走來(4) 時間: Mon Oct 18 04:59:06 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 標題: 芒德勃羅：沿著博物學傳統走來(4) 時間: Sun Oct 17 21:39:56 2004 貫穿始終的一條線索 除了創立分形幾何學這樣一個總的題目，芒氏的主要科學成就具體說來主要包括什麼? 如果去掉“主要”兩字，羅列一長串也就齊了，但是限制列出幾項，考慮起來可不容易。 有些現在看起來重要，可能不久後隨著科學的發展又不算什麼了，有的現在一般，但也許 以後會變得重要。無論怎樣，作者還是根據自己的粗淺理解初步列出幾項： 1)發現萊維(Paul Levy,1886-1971)穩定分布的重要性，並應用於經濟學、布朗運動 、星系分布等領域； 2)用自相似觀點研究噪聲與湍流的陣發過程； 3)〔重新〕發現M集合，推動了復疊代的復興和電腦圖形學的發展； 4)在前人基礎上擴展了維數概念，並使各領域科學家廣泛理解； 5)提出“分形”概念和“多分形”(multifractal，也譯作“多重分形”、“多標度 分形”) 思想，為不規則現象、臨界現象研究樹立了一面新的旗幟； 6)促進了科學的統一和數學的普及，有力推動了科學與藝術的結合。 在一般人看來，芒德勃羅的最主要貢獻是發明了一種新的幾何學。但是仔細研究他曲 折的學術生涯會發現，他首先進入的並不是基礎數理科學，而是“工程技術”(做廣義的 理解)。他在工程技術中(或者用中國話來說，在生產實踐中)發現問題，總結出帶有規律 性的東西，進而將它們上昇為一般理論，最終創立“分形幾何學”。這與當前物理學家 、數學家改行的順序似乎正好相反，現在通常是由基礎數理科學轉向經濟學、社會學和 哲學等。 直到最近人們對芒氏的理解還局限於確定論典範，90年代以後才有一些人注意到芒氏 那裡還有隨機論典範，並且在芒氏那裡兩者本來是有機地結合在一起的。 芒氏本人曾明確說過，如果將來寫關於分形方面的專著或者教科書，倒是可以直接從 隨機變量、隨機函數講起，而他之所以沒有這麼做，主要是考慮：首次進入能夠極大地 吸引讀者的話題，應讓讀者立即產生幾何直覺。無論是研究詞頻分布、通信系統的噪聲 、價格變化，還是布朗運動、湍流、星系結構，芒氏都用了“自相似”這一貌似簡單的 思想。他的思路這這樣的： 自相似性≡尺度變換下的一種對稱性→雙曲分布→非高斯穩定分布→巧妙利用了方差 為無窮的“病態”性質→萊維飛行→各種應用(海岸線、皮亞諾曲線、門格爾/謝爾賓斯基 海綿等) →分維測度→分形幾何→自相似性→…… 芒德勃羅曾說：“與分形關係最緊密的是雙曲概率分布”(見《大自然的分形幾何學 》第38章)。他最早接觸的詞頻分布與收入分布研究，都涉及這一主題。在我們分析的上 述方案中，特別突出了目前一般分形著作不太重視的“非高斯穩定隨機過程”。 芒德勃羅從事的第一個科研實踐(實際上仍然理論氣十足)是研究通信中的噪聲和詞頻 的分布 ，後來是河水的漲落以及經濟學中的收入分布規律。這幾項似乎一點不搭邊，但 它們都指向一個不變的東西，這個線索如此重要，以至不理解它就無法理解芒德勃羅一 生工作的統一性 。這個線索溝通了自然科學中長期存在的確定論描述體系與隨機論描述 體系，這個線索幫助人們理解宣言書《大自然的分形幾何學》中各個部分之間的內在聯 系。這個線索的潛在價值遠未開發完畢，它正在成為眾多新學科的生長點：如最近對分 數布朗運動(FBM)的興趣，對萊維飛行(Levy flights)的重新關注，對非高斯穩定隨機過 程的新認識等等。 那麼這個線索是什麼呢?就是從他的老師萊維那裡學來的“萊維穩定分布”(Levy's stable distributions)。萊維是機率論少有的幾位著名的奠基人之一，雖然現在的學生 幾乎不知道這個偉大人物了。當年在法國綜合工科學校，萊維教過芒德勃羅，芒氏師從萊 維學習基本的數學分析。後來有人問芒氏是否是萊維的學生。芒氏的回答很有趣：“不， 許多人後來都聲稱是萊維的學生，但萊維特別否認他有什麼學生”。芒氏講的“學生” (student) 換成“弟子”(disciple)大概更恰當些。 芒德勃羅大約在1960年左右真正意識到非高斯型穩定分布的意義，從此他堅定信念， 不為外界各種反對、批評所動，連續將這種思想應用於經濟學、流體力學以及天文學。 在機率論基礎奠定之前，鐘型誤差分布定律就已廣為人知，這種分布具有各種想像得 出的好性質，所以被冠以“常態分布”，也稱高斯常態分布。言外之意，不滿足這些性 質的分布都不是標準的——也許多少有些“變態”。特別是本世紀初對布朗運動的大量 研究，更加深了人們對這種完美分布的嚮往。維納(Norbert Wiener,1894-1964)成功地 發展了一套關於布朗運動的漂亮數學理論。如今人們稱布朗運動往往有兩種含義，一種 指物理上實在的微粒運動導致的宏觀過程，另一種則指維納的那些純粹數學。實際上維 納在研究布朗運動隨機過程時所用到的分布只是高斯常態分布。 數理科學中個別案例使用正態分布導致了空前成功，直接誘導人們將它推廣到一切物 理現象 ，最終必然影響到社會科學界。在相當長時間裡(甚至到現在仍然如此)，數理統 計工作者言必稱常態分布，在相當程度上常態分布是唯一有用、方便的工具。然而芒德 勃羅發現這種流行觀念是錯誤的。 --

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