※ [本文轉錄自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 標題: 芒德勃羅：沿著博物學傳統走來(6) 時間: Mon Oct 18 04:59:06 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 標題: 芒德勃羅：沿著博物學傳統走來(6) 時間: Sun Oct 17 22:23:08 2004 陣發湍流 芒德勃羅關於流體湍流問題的研究始於對經濟學的研究之後，1963年秋季他在哈佛大 學聽了斯圖爾特(Robert Stewart)的一次講座，了解到流體力學研究中討論陣發(間歇) (intermitt ency)現象,同時知道了蘇聯學派關於湍流研究的一些最新結果，如柯爾莫哥 洛夫1941年與1961-1962年兩個階段的創造性工作。芒德勃羅立即有一種衝動：試圖轉向 湍流研究。他覺得這些觀念對於自己並不算新鮮事，大約10年前自己在研究通信噪聲時 ，就碰到過類似的現象。他認為湍流中的許多問題與分形有關(當時還沒有“分形”這個 概念)。他迫不急待地想把自己在其他領域做的工作“翻譯”成流體力學的語言。 眾所周知，湍流是困擾科學家百年之久的老大難問題。流體運動顯然滿足納維葉-斯 托克斯 (Navier-Stokes)方程，但這無濟於事，這個方程根本無法求解。多少年來人們從 解析的角度做了各種努力，均未獲重大進展。芒德勃羅則是從幾何形狀入手的，他聲稱 自己不斷觀察關於湍流的繪畫、照片，考察湍流的速度記錄，甚至傾聽湍流(將資料轉化 成音頻信號)，還用功率譜等手段測量湍流，以獲得基本的幾何直覺。利用自己對其他奇 異性問題研究的經驗，他形成了一些猜想，但並不能證明它們。直到1967年他才發表關 於湍流的文章《偶發湍流 》(Sporadic turbulence)，1968年發表《論陣發自由湍流》 (On intermittent free turbu lence)，1972年發表《有關陣發湍流能量耗散的對數正則 假設的可能細化》,1974年發表《自相似級聯陣發湍流、高階矩的發散性與載體的維數》 ，1975年發表《論各向同性湍流》，1976年發表《陣發湍流與分維》，1977年發表《分 形與湍流：吸引子與彌散》等。 芒德勃羅對湍流的研究不是從基本方程入手進行嚴格數學分析，而是從宏觀上、從幾 何角度觀察，先獲得幾何直覺，構造核心概念，再一層一層作定性分析。這一思路是“將 自相似技術應用於湍流的幾何學”。芒氏明顯地受柯爾莫哥洛夫1941年文章風格的影響 ，他說：“方程(指歐拉方程和納維葉-斯托克斯方程)並沒有幫助我們理解柯爾莫哥洛夫 ，同時柯爾莫哥 洛夫也沒有幫助我們解方程。” 芒氏首先從湍流級聯(cascade,也譯級串)中的自相似出發，在這方面著名氣象學家里 查遜仍然走在前面。1926年里查遜就引入了與級聯有關的旋渦等級層次(hierarchy of eddies) 的概念。1941年哥爾莫哥洛夫、奧布科夫(A.M.Obukhov)、翁薩格(Onsager)和魏 扎克(von Weiza..cker)沿此路線作出重大貢獻，不過一般情況下這一組研究只冠以柯爾 莫哥洛夫的名字。 芒氏作出“湍流運動的奇異性本質上是分形”的重要猜想。從其它方程導出的已知的 奇異性不足夠以解釋直觀上我們看到的湍流的特徵，於是他猜測：基本方程的湍流解， 一定牽涉到新的類型的奇異性，並且可能就是分形。特別地，他說：“納維葉-斯托克斯 方程的解如果存在，就是事實上的極限分形。”他進而猜想，歐拉方程解的奇異性，也 是實際上的分形。 這樣一來他發展的分維概念就有了用武之地。直觀上看，納維-斯托克 斯方程的解要比歐拉方程的解光滑些、少些奇異性，於是可以猜測歐拉方程的解的維數 比較大一些。芒氏承認，證明這些猜想，都遠遠超出了他的解析能力。實際上對於微分 方程也是如此，以前人們只知道不動點、極限環和極限環面(torus)，經過渾沌的洗禮， 才知道還有另一種非周期定態運動。當時芒德勃羅直覺上猜測流體方程應當具有新的奇 異性，的確是一個創見。 在研究湍流陣發現象時，他貫徹了“自相似教義”，提出了一個有趣的新概念“乳凝 ”(curdling)，與它對應的一個詞是“乳清”(whey)。“乳凝”和“乳清”隨機地混合在 一起，構成複雜的結構，類似於康托爾集合、謝爾賓斯基海綿。芒氏特別強調，對“乳 凝”這個詞不要作字面上的理解，但是考慮到“乳凝”外面的空間包圍著“乳清”，倒 是有助於理解問題 。芒氏形成這樣的概念，大概受到諾維克夫(E.A.Novikov)和斯圖爾特 (R.W.Stewart)1964年論文《湍流的陣發性與能量耗散漲落的譜》(原文為俄文)的影響， 也受到霍伊耳(F.Hoyle)1953年和1975年關於星系團等級層次模型的影響。 芒氏解釋說，諾維克夫與斯圖爾特合寫的文章的核心假設是，陣發性是由級聯導致的 ，在每一階段能量都從一個旋渦(eddy)“集中”或者“乳凝”(作動詞用)到N個次級子旋 渦(subeddies)，旋渦的比例為r，於是有如下分維公式D=logN/log(1/r)。對於宇宙學D 一般小於2，但對於流體湍流D大於2。在1977年的專著《分形》中，芒氏用四頁插圖表現 “隨機乳凝”(random curdling)結構，用以形象地說明流體湍流耗散的一般過程。 經過m次級聯耗散後，能量均勻分布在第m層次的γmD個子渦旋上。在三維空間上一 共有γ3m個子渦旋。當級聯無限進行下去時，耗散的極限分布均勻地散布在一個維數小 於3的分形“乳凝”(作名詞用)上。芒德勃羅將這種湍流稱為“分形各向同性湍流” (fractally homogeneous turbulence)。 利用這種思想芒氏於1976年將柯爾莫哥洛夫的5/3指數改寫為5/3+B，其中B=(3-D)/3 芒氏特別研究了乳凝與乳清的結構關係,這時他用到了物理學中非常重要的概念—— 逾滲和逾滲壺(percolator)。逾滲壺就是一組自相似的集團(cluster)，而集團是由聯通 的乳凝組成的。芒氏1974年將簡單的乳凝(1/r和N都取整數的情況)分解過程稱為正則乳凝 (canonical curdling)，後來又考慮令N可以隨機變化，對應於每一層次有一個隨機數U ，再規定一個機率閾值p，當U大於p時子旋渦湮滅成為乳清，當U小於p時子旋渦存活為乳 凝。當p小於 1/r3時，所有過程都死掉，於是D為0，對於其他情況有非零機率，過程收斂 到一個維數為 D=3-logp/logr的分形上。此模型的好處在於D可以在0和3之間變化。 法國尼斯天文台的弗里茨(Uriel Frisch)教授1995年在專著《湍流：柯爾莫哥洛夫的 遺產》 中高度評價了芒德勃羅關於陣發湍流的思想，實際上弗氏是較早就認識到芒氏思 想重要性的少數人之一。1974年克萊茨南(R.H.Kraichnan)糾正了隨機級聯模型的一個概 念錯誤，用速度增量和能量流這些慣性物理量代替了耗散量，使得諾維克夫-斯圖爾特模 型發展為β模型。弗里茨在β模型中講述了芒氏的自相似級聯思想。結合柯爾莫哥洛夫 1941年的論文，可以導出速度關係 vl～v0[JB((]l/l0[JB))][SX(]1[]3[SX)]-[SX(]3-D[]3[SX)] . 芒德勃羅、弗里茨、帕里西(Giorgio Parisi，羅馬大學)等提出的“多〔重〕分形”概念 對於陣發湍流研究具有重要意義，但是多分形模型的現象學表示有兩個缺點：第一，它 假定存在奇異性，第二，它沒有區分正負速度增量。弗里茨從機率的觀點重構了多分形 模型，克服了這兩個缺點。機率意義上的多分形標度性，並不要求在個體層次上實現任 何分形結構。從這個意義上看，湍流的分形或者多分形描述更多地體現著機率含義，離 精細尺度的幾何特徵則越來越遠，雖然起初是從幾何入手的。不過，進入90年代中期， 達·芬奇(Leonardo da Vinci,1452-1519)式的湍流又成為研究的焦點，科學家們開始考 慮極細小尺度上(到了柯爾莫哥洛夫尺度的量級)的非平庸的幾何結構，特別關注渦絲 (vortex filaments)的形成以及對於流體動力學和統計特徵的影響。 --

※ 發信站: 批踢踢兔(ptt2.cc) ◆ From: 61.223.144.102 -- 愛因斯坦的廣義相對論 不過是另一個精緻的手編藤籃罷了. --

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