※ [本文转录自 Keelungman 信箱] 作者: [email protected] ("[email protected]") 标题: 芒德勃罗：沿着博物学传统走来(6) 时间: Mon Oct 18 04:59:06 2004 作者: DarthRaider (...........) 看板: BBMak 标题: 芒德勃罗：沿着博物学传统走来(6) 时间: Sun Oct 17 22:23:08 2004 阵发湍流 芒德勃罗关於流体湍流问题的研究始於对经济学的研究之後，1963年秋季他在哈佛大 学听了斯图尔特(Robert Stewart)的一次讲座，了解到流体力学研究中讨论阵发(间歇) (intermitt ency)现象,同时知道了苏联学派关於湍流研究的一些最新结果，如柯尔莫哥 洛夫1941年与1961-1962年两个阶段的创造性工作。芒德勃罗立即有一种冲动：试图转向 湍流研究。他觉得这些观念对於自己并不算新鲜事，大约10年前自己在研究通信噪声时 ，就碰到过类似的现象。他认为湍流中的许多问题与分形有关(当时还没有“分形”这个 概念)。他迫不急待地想把自己在其他领域做的工作“翻译”成流体力学的语言。 众所周知，湍流是困扰科学家百年之久的老大难问题。流体运动显然满足纳维叶-斯 托克斯 (Navier-Stokes)方程，但这无济於事，这个方程根本无法求解。多少年来人们从 解析的角度做了各种努力，均未获重大进展。芒德勃罗则是从几何形状入手的，他声称 自己不断观察关於湍流的绘画、照片，考察湍流的速度记录，甚至倾听湍流(将资料转化 成音频信号)，还用功率谱等手段测量湍流，以获得基本的几何直觉。利用自己对其他奇 异性问题研究的经验，他形成了一些猜想，但并不能证明它们。直到1967年他才发表关 於湍流的文章《偶发湍流 》(Sporadic turbulence)，1968年发表《论阵发自由湍流》 (On intermittent free turbu lence)，1972年发表《有关阵发湍流能量耗散的对数正则 假设的可能细化》,1974年发表《自相似级联阵发湍流、高阶矩的发散性与载体的维数》 ，1975年发表《论各向同性湍流》，1976年发表《阵发湍流与分维》，1977年发表《分 形与湍流：吸引子与弥散》等。 芒德勃罗对湍流的研究不是从基本方程入手进行严格数学分析，而是从宏观上、从几 何角度观察，先获得几何直觉，构造核心概念，再一层一层作定性分析。这一思路是“将 自相似技术应用於湍流的几何学”。芒氏明显地受柯尔莫哥洛夫1941年文章风格的影响 ，他说：“方程(指欧拉方程和纳维叶-斯托克斯方程)并没有帮助我们理解柯尔莫哥洛夫 ，同时柯尔莫哥 洛夫也没有帮助我们解方程。” 芒氏首先从湍流级联(cascade,也译级串)中的自相似出发，在这方面着名气象学家里 查逊仍然走在前面。1926年里查逊就引入了与级联有关的旋涡等级层次(hierarchy of eddies) 的概念。1941年哥尔莫哥洛夫、奥布科夫(A.M.Obukhov)、翁萨格(Onsager)和魏 扎克(von Weiza..cker)沿此路线作出重大贡献，不过一般情况下这一组研究只冠以柯尔 莫哥洛夫的名字。 芒氏作出“湍流运动的奇异性本质上是分形”的重要猜想。从其它方程导出的已知的 奇异性不足够以解释直观上我们看到的湍流的特徵，於是他猜测：基本方程的湍流解， 一定牵涉到新的类型的奇异性，并且可能就是分形。特别地，他说：“纳维叶-斯托克斯 方程的解如果存在，就是事实上的极限分形。”他进而猜想，欧拉方程解的奇异性，也 是实际上的分形。 这样一来他发展的分维概念就有了用武之地。直观上看，纳维-斯托克 斯方程的解要比欧拉方程的解光滑些、少些奇异性，於是可以猜测欧拉方程的解的维数 比较大一些。芒氏承认，证明这些猜想，都远远超出了他的解析能力。实际上对於微分 方程也是如此，以前人们只知道不动点、极限环和极限环面(torus)，经过浑沌的洗礼， 才知道还有另一种非周期定态运动。当时芒德勃罗直觉上猜测流体方程应当具有新的奇 异性，的确是一个创见。 在研究湍流阵发现象时，他贯彻了“自相似教义”，提出了一个有趣的新概念“乳凝 ”(curdling)，与它对应的一个词是“乳清”(whey)。“乳凝”和“乳清”随机地混合在 一起，构成复杂的结构，类似於康托尔集合、谢尔宾斯基海绵。芒氏特别强调，对“乳 凝”这个词不要作字面上的理解，但是考虑到“乳凝”外面的空间包围着“乳清”，倒 是有助於理解问题 。芒氏形成这样的概念，大概受到诺维克夫(E.A.Novikov)和斯图尔特 (R.W.Stewart)1964年论文《湍流的阵发性与能量耗散涨落的谱》(原文为俄文)的影响， 也受到霍伊耳(F.Hoyle)1953年和1975年关於星系团等级层次模型的影响。 芒氏解释说，诺维克夫与斯图尔特合写的文章的核心假设是，阵发性是由级联导致的 ，在每一阶段能量都从一个旋涡(eddy)“集中”或者“乳凝”(作动词用)到N个次级子旋 涡(subeddies)，旋涡的比例为r，於是有如下分维公式D=logN/log(1/r)。对於宇宙学D 一般小於2，但对於流体湍流D大於2。在1977年的专着《分形》中，芒氏用四页插图表现 “随机乳凝”(random curdling)结构，用以形象地说明流体湍流耗散的一般过程。 经过m次级联耗散後，能量均匀分布在第m层次的γmD个子涡旋上。在三维空间上一 共有γ3m个子涡旋。当级联无限进行下去时，耗散的极限分布均匀地散布在一个维数小 於3的分形“乳凝”(作名词用)上。芒德勃罗将这种湍流称为“分形各向同性湍流” (fractally homogeneous turbulence)。 利用这种思想芒氏於1976年将柯尔莫哥洛夫的5/3指数改写为5/3+B，其中B=(3-D)/3 芒氏特别研究了乳凝与乳清的结构关系,这时他用到了物理学中非常重要的概念—— 逾渗和逾渗壶(percolator)。逾渗壶就是一组自相似的集团(cluster)，而集团是由联通 的乳凝组成的。芒氏1974年将简单的乳凝(1/r和N都取整数的情况)分解过程称为正则乳凝 (canonical curdling)，後来又考虑令N可以随机变化，对应於每一层次有一个随机数U ，再规定一个机率阈值p，当U大於p时子旋涡湮灭成为乳清，当U小於p时子旋涡存活为乳 凝。当p小於 1/r3时，所有过程都死掉，於是D为0，对於其他情况有非零机率，过程收敛 到一个维数为 D=3-logp/logr的分形上。此模型的好处在於D可以在0和3之间变化。 法国尼斯天文台的弗里茨(Uriel Frisch)教授1995年在专着《湍流：柯尔莫哥洛夫的 遗产》 中高度评价了芒德勃罗关於阵发湍流的思想，实际上弗氏是较早就认识到芒氏思 想重要性的少数人之一。1974年克莱茨南(R.H.Kraichnan)纠正了随机级联模型的一个概 念错误，用速度增量和能量流这些惯性物理量代替了耗散量，使得诺维克夫-斯图尔特模 型发展为β模型。弗里茨在β模型中讲述了芒氏的自相似级联思想。结合柯尔莫哥洛夫 1941年的论文，可以导出速度关系 vl～v0[JB((]l/l0[JB))][SX(]1[]3[SX)]-[SX(]3-D[]3[SX)] . 芒德勃罗、弗里茨、帕里西(Giorgio Parisi，罗马大学)等提出的“多〔重〕分形”概念 对於阵发湍流研究具有重要意义，但是多分形模型的现象学表示有两个缺点：第一，它 假定存在奇异性，第二，它没有区分正负速度增量。弗里茨从机率的观点重构了多分形 模型，克服了这两个缺点。机率意义上的多分形标度性，并不要求在个体层次上实现任 何分形结构。从这个意义上看，湍流的分形或者多分形描述更多地体现着机率含义，离 精细尺度的几何特徵则越来越远，虽然起初是从几何入手的。不过，进入90年代中期， 达·芬奇(Leonardo da Vinci,1452-1519)式的湍流又成为研究的焦点，科学家们开始考 虑极细小尺度上(到了柯尔莫哥洛夫尺度的量级)的非平庸的几何结构，特别关注涡丝 (vortex filaments)的形成以及对於流体动力学和统计特徵的影响。 --

※ 发信站: 批踢踢兔(ptt2.cc) ◆ From: 61.223.144.102 -- 爱因斯坦的广义相对论 不过是另一个精致的手编藤篮罢了. --

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