問：積分的時候 ∫∫ f dx dy 可否寫成 ∫∫ f d(rcosθ) d(rsinθ)， 然後怎麼會變成 ∫∫ f r dr dθ ？ 答：可以，然後你要繼續寫下去：不過你要對 differential 熟悉： d(rcosθ) = cosθdr - rsinθdθ d(rsinθ) = sinθdr + rcosθdθ 事實上，我們所學的 dx dy 應該是 dx ^ dy (中間的符號是 wedge) 你就先把它想成是高中學到的外積，它於是就是兩向量張出的面積（有向面積） 就你以前學到的外積，他具有 dr ^ dr = 0 （兩平行向量所張出面積為○） dr ^ dθ = - dθ ^ dr （右手定則）還有 (a dr) ^ (b dθ) = ab (dr ^ dθ) 所以 dx ^ dy = (cosθdr - rsinθdθ) ^ (sinθdr + rcosθdθ) = cosθsinθ(dr^dr) + r cosθcosθ (dr ^ dθ) - r sinθsinθ(dθ^dr) + r sinθcosθ(dθ^ dθ) = r (dr ^ dθ) 問：在算圓的截距最小時，算到欲求 1/x + 1/y 最小，然後 1/x + 1/y >= sqrt(1/xy) = sqrt(1/(cosθsinθ)) = sqrt(2/sin(2θ)) >= sqrt(2) 因為在 θ=45度時最右式有最小值，所以 1/x+1/y 在 θ=45 有最小值。 覺得算幾不等式的時候兩邊是變數很怪。 （以前在算的時候都是另一邊是定值，現在不是，所以覺得毛毛的） 答：這樣是 O.K. 的，你要擔心的應該只有是否兩個不等式「同時」等號達成。 第二個等號要成立是在 θ=45度時，第一個等號要成立 <=> 1/x=1/y <=> x=y <=> cosθ=sinθ <=> θ=45 度。所以同時達到。 或者你直接在一開始用三角函數時 1/x + 1/y = 1/cosθ + 1/sinθ >= sqrt(2/sin(2θ)) 這樣就自然一些。 --

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