问：积分的时候 ∫∫ f dx dy 可否写成 ∫∫ f d(rcosθ) d(rsinθ)， 然後怎麽会变成 ∫∫ f r dr dθ ？ 答：可以，然後你要继续写下去：不过你要对 differential 熟悉： d(rcosθ) = cosθdr - rsinθdθ d(rsinθ) = sinθdr + rcosθdθ 事实上，我们所学的 dx dy 应该是 dx ^ dy (中间的符号是 wedge) 你就先把它想成是高中学到的外积，它於是就是两向量张出的面积（有向面积） 就你以前学到的外积，他具有 dr ^ dr = 0 （两平行向量所张出面积为○） dr ^ dθ = - dθ ^ dr （右手定则）还有 (a dr) ^ (b dθ) = ab (dr ^ dθ) 所以 dx ^ dy = (cosθdr - rsinθdθ) ^ (sinθdr + rcosθdθ) = cosθsinθ(dr^dr) + r cosθcosθ (dr ^ dθ) - r sinθsinθ(dθ^dr) + r sinθcosθ(dθ^ dθ) = r (dr ^ dθ) 问：在算圆的截距最小时，算到欲求 1/x + 1/y 最小，然後 1/x + 1/y >= sqrt(1/xy) = sqrt(1/(cosθsinθ)) = sqrt(2/sin(2θ)) >= sqrt(2) 因为在 θ=45度时最右式有最小值，所以 1/x+1/y 在 θ=45 有最小值。 觉得算几不等式的时候两边是变数很怪。 （以前在算的时候都是另一边是定值，现在不是，所以觉得毛毛的） 答：这样是 O.K. 的，你要担心的应该只有是否两个不等式「同时」等号达成。 第二个等号要成立是在 θ=45度时，第一个等号要成立 <=> 1/x=1/y <=> x=y <=> cosθ=sinθ <=> θ=45 度。所以同时达到。 或者你直接在一开始用三角函数时 1/x + 1/y = 1/cosθ + 1/sinθ >= sqrt(2/sin(2θ)) 这样就自然一些。 --

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