我們知道當 x 趨於無窮時，π(x) 也趨於無窮，但是π(x)，也就是不超過 x 的質 數個數大概有多大呢？它與 x 的大小有怎樣的關係？這是一個很難的問題，也是一個很 重要的問題，是質數分佈理論的中心問題。 高斯與勒讓德（1752～1833）等人猜想π(x) 與 x/㏒x 大致相等（這裡 ㏒x 是 x 的自然對數，即以 e 為底的對數，e＝2.718281828459… 是一個重要的常數），換句話 說， x π(x) ＝ ------- ＋ R .......(1) log x R 稱為餘項，當 x 很大時，R 與「主項」 x/㏒x 相比是微不足道的。 (1) 稱為質數定理，它的證明十分困難，在高斯等人提出上述猜想後，五十年內毫無 進展。首先打破僵局的是俄國的大數學家契貝謝夫（1821～1894），他在 1849 年與 1852 年發表的兩篇文章中得到當 x 很大時， x x 0.92129 ------- ≦ π(x) ≦ 1.10555 ------- log x log x 這個結果與 (1) 已很接近，可惜的是，雖然有不少人仿效他的工作，但契貝謝夫所用的 方法是不能導致問題的最終解決的。 1881 年，英國數學家西爾維斯特（1814～1897）發表了悲觀的評論說， 「我們或許要等待世界上產生這樣一個人，他的智慧與洞察力像契貝謝夫一樣，證明 自己超人一等。」 當他說這段話時，他並不日道解決這個問題的數學家阿達瑪等人已經誕生。他也沒有 注意到在二十多年以前，也就是 1859 年，德國卓越的數學家黎曼已經在一篇文章中提供 了解決這個問題的鑰匙。 1896 年，法國數學家阿達瑪（1865～1963）與德‧拉‧瓦利普松（1866～1962）同時 、獨立地證明了質數定理。他們的證明都利用了黎曼 1859 年的那篇論文中的思想，利用 了複變函數的理論。 又過了五十多年，挪威數學家塞爾貝格（1917～）與匈牙利數學家厄爾多斯（1913～ ）在 1948 年找到了不利用複變函數理論的「初等證明」，可惜的是，這個「初等證明」 也十分的艱深。 (1) 中餘項 R 的估計也是一個很難的問題，有不少人在研究它。 -- 「miss」是想。 也是錯失的意思 「missyou」是想你。 同時，也是錯失你。 --

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