※ 引述《littlecutie (沂浴)》之銘言： : ※ 引述《Thitta (胖胖 )》之銘言： : : 作者: diep (隱藏人物) 看板: NTU-Exam : : 標題: [試題] 94上 張秀瑜 微積分乙 期中 : : 時間: Sun Nov 13 16:11:17 2005 : : 課程名稱︰微積分乙上 : : 課程性質︰共同必修 : : 課程教師︰張秀瑜 : : 開課系所︰管院、地理、經濟 : : 考試時間︰94/11/10 : : 試題 : : : 1. ___ : : (a) Find lim√x+1 -2/(x-3). : : x→3 : : 應該是1/4 : : (b) Prove that lim x^2cos(1/x^2) = 0. : : x→0 : : 用夾擊定理，課本88頁 : : (c) Find all values of a such that f is continuous on R, where : : { x^2, if x > a; : : f(x) = { : : { x+1, if x≦ a. : : 2 : : 作x =x+1﹝是這樣嗎？﹞ : 應該是這樣。 : : (d) Give a short explanation of why the following approximation is valid. : : ____ : : √4.02 ≒ 2 + 1/4(0.02) : : 這啥？ : 3.10 LINEAR APPROXIMATION : 我試著寫一下〈寫的好爛> <|||〉 : Let f(x)=√x，so the linear approximation of x at 2 is f(2)+f`(2)(x-2) : therefore, √4.02 ≒ 2 + 1/4(0.02) : 意思有到就好... : : 2.Show that the function g(x)= x∣x∣has an inflection point at (0,0), but : : g"(0) does not exist. : 坦白說這題我不會耶！後天問好了！這題在p249第61題。 { x^2 x > = 0 { 2x x > = 0 { 2 x > 0 g(x)={ => g'(x)={ => g"(x)={ { -x^2 x < = 0 { -2x x < = 0 { -2 x < 0 跟據反曲點的定義: 在點左右兩邊有不同的凹曲性 根據凹曲性的定義: 函數向上凹表示斜率在(0,0+d)遞增 g"(x)=2 x > 0 (d=delta) 函數向下凹表示函數在(0-d,0)遞減 g"(x)=-2 x < 0 所以可知 在點(0,0) 為反曲點 而g"(0)因為在0左右兩邊的導數值不同 所以g"(x)不存在 : : dy 3 _ : : 3.Find —. (a) y = 2csc (√x) (b) tan(x/y) = x+y : : dx : : chain rule 答案好長...不會打...= = : : 4.If y = f(u) and u = g(x), where f and g are third differentiable function, : : d^2y d^2y (du)2 dy d^2u d^3y : : — = — (－) + — — . Find a formula for — similar to : : dx^2 du^2 (dx) du dx^2 dx^3 : : the one given above. : : 這題是課本197頁的第65題，老師最近一次上課有講過，有背有保佑 : : 5.Prove that if a > 0 and n is any positive integer, then the polynomial : : function : : 2n+1 : : p(x) = x + ax + b : : cannot have two real roots. : : ...... : 利用MVT，使用反證法。 : 應該用不到MVT吧 MVT 是羅爾定理的另個說法 所以在這應該用不到 1. 因為最大項次方為奇數次方 => p(-無限大) < 0 p(無限大) > 0 根據勘根定理(或者是IVT) 必存在至少一根c 且c屬於(-無限大,無限大) 2n 2. 因為p'(x)= (2n+1)x + a 最高項次方為偶數 且 a 為正整數 所以p'(x)恆大於0 即 p(x)在(-無限大,無限大) 為嚴格遞增函數 所以不會有第二個實根 : 6.Find an equation of the line through the point (3,5) that cuts the least : : area from the first quadrant. : : 有人會這題嗎... : 這應該是英文問題吧...quadrant是象限。 : 再超級現醜一下好了。 : Let the equation of this line be 3/a+5/b=1. a is the interception of this : line to x-axis. b is the interception of this line to y-axis. : We would like to know the minimum of 1/2*ab : By 算幾不等式〈我真的掰不下去了....〉, (3/a+5/b)/2 >= √15/ab : →1/2 >= √15/ab → 1/2 ab >= 30，so the minimum is 30 : 基本上這題我用算幾作，因為不想動微積分的腦袋= = : 所以會用微積分解的教一下吧！ : 設直線方程式為(y-5) = a (x-3) => y=ax+(-3a+5) 通過(0,-3a+5)及((3a-5)/a,0 ) 所以所圍面積 A(a) = (1/2)(-3a+5)[(3a-5)/a] = (-1/2)[(9a^2-30a+25)/a] => A'(a) = (-1/2)[(9a^2-25)/a^2] 因為要求A(a)的最小值 所以令A'(a)=0 =>a=5/3 或 -5/3 正不和 因為係數為正的話 就圍不成所謂的三角形 所以a=-5/3 帶回原直線方程式 (y-5) = (-5/3)(x-3) 即為所求 : 7.Sketch the graph of y = x^3 －1/x^3 + 1 : : 事實證明，真的會考畫圖題，詳情請見第四章 : 我討厭作圖= =。 : 祝大家期中考順利！上課一直發問絕對沒關係！她不會怎樣的。 : 她是個好媽媽^^ 最後 祝大家期中考順利 by路過的人 --

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