※ 引述《littlecutie (沂浴)》之铭言： : ※ 引述《Thitta (胖胖 )》之铭言： : : 作者: diep (隐藏人物) 看板: NTU-Exam : : 标题: [试题] 94上 张秀瑜 微积分乙 期中 : : 时间: Sun Nov 13 16:11:17 2005 : : 课程名称︰微积分乙上 : : 课程性质︰共同必修 : : 课程教师︰张秀瑜 : : 开课系所︰管院、地理、经济 : : 考试时间︰94/11/10 : : 试题 : : : 1. ___ : : (a) Find lim√x+1 -2/(x-3). : : x→3 : : 应该是1/4 : : (b) Prove that lim x^2cos(1/x^2) = 0. : : x→0 : : 用夹击定理，课本88页 : : (c) Find all values of a such that f is continuous on R, where : : { x^2, if x > a; : : f(x) = { : : { x+1, if x≦ a. : : 2 : : 作x =x+1﹝是这样吗？﹞ : 应该是这样。 : : (d) Give a short explanation of why the following approximation is valid. : : ____ : : √4.02 ≒ 2 + 1/4(0.02) : : 这啥？ : 3.10 LINEAR APPROXIMATION : 我试着写一下〈写的好烂> <|||〉 : Let f(x)=√x，so the linear approximation of x at 2 is f(2)+f`(2)(x-2) : therefore, √4.02 ≒ 2 + 1/4(0.02) : 意思有到就好... : : 2.Show that the function g(x)= x∣x∣has an inflection point at (0,0), but : : g"(0) does not exist. : 坦白说这题我不会耶！後天问好了！这题在p249第61题。 { x^2 x > = 0 { 2x x > = 0 { 2 x > 0 g(x)={ => g'(x)={ => g"(x)={ { -x^2 x < = 0 { -2x x < = 0 { -2 x < 0 跟据反曲点的定义: 在点左右两边有不同的凹曲性 根据凹曲性的定义: 函数向上凹表示斜率在(0,0+d)递增 g"(x)=2 x > 0 (d=delta) 函数向下凹表示函数在(0-d,0)递减 g"(x)=-2 x < 0 所以可知 在点(0,0) 为反曲点 而g"(0)因为在0左右两边的导数值不同 所以g"(x)不存在 : : dy 3 _ : : 3.Find —. (a) y = 2csc (√x) (b) tan(x/y) = x+y : : dx : : chain rule 答案好长...不会打...= = : : 4.If y = f(u) and u = g(x), where f and g are third differentiable function, : : d^2y d^2y (du)2 dy d^2u d^3y : : — = — (－) + — — . Find a formula for — similar to : : dx^2 du^2 (dx) du dx^2 dx^3 : : the one given above. : : 这题是课本197页的第65题，老师最近一次上课有讲过，有背有保佑 : : 5.Prove that if a > 0 and n is any positive integer, then the polynomial : : function : : 2n+1 : : p(x) = x + ax + b : : cannot have two real roots. : : ...... : 利用MVT，使用反证法。 : 应该用不到MVT吧 MVT 是罗尔定理的另个说法 所以在这应该用不到 1. 因为最大项次方为奇数次方 => p(-无限大) < 0 p(无限大) > 0 根据勘根定理(或者是IVT) 必存在至少一根c 且c属於(-无限大,无限大) 2n 2. 因为p'(x)= (2n+1)x + a 最高项次方为偶数 且 a 为正整数 所以p'(x)恒大於0 即 p(x)在(-无限大,无限大) 为严格递增函数 所以不会有第二个实根 : 6.Find an equation of the line through the point (3,5) that cuts the least : : area from the first quadrant. : : 有人会这题吗... : 这应该是英文问题吧...quadrant是象限。 : 再超级现丑一下好了。 : Let the equation of this line be 3/a+5/b=1. a is the interception of this : line to x-axis. b is the interception of this line to y-axis. : We would like to know the minimum of 1/2*ab : By 算几不等式〈我真的掰不下去了....〉, (3/a+5/b)/2 >= √15/ab : →1/2 >= √15/ab → 1/2 ab >= 30，so the minimum is 30 : 基本上这题我用算几作，因为不想动微积分的脑袋= = : 所以会用微积分解的教一下吧！ : 设直线方程式为(y-5) = a (x-3) => y=ax+(-3a+5) 通过(0,-3a+5)及((3a-5)/a,0 ) 所以所围面积 A(a) = (1/2)(-3a+5)[(3a-5)/a] = (-1/2)[(9a^2-30a+25)/a] => A'(a) = (-1/2)[(9a^2-25)/a^2] 因为要求A(a)的最小值 所以令A'(a)=0 =>a=5/3 或 -5/3 正不和 因为系数为正的话 就围不成所谓的三角形 所以a=-5/3 带回原直线方程式 (y-5) = (-5/3)(x-3) 即为所求 : 7.Sketch the graph of y = x^3 －1/x^3 + 1 : : 事实证明，真的会考画图题，详情请见第四章 : 我讨厌作图= =。 : 祝大家期中考顺利！上课一直发问绝对没关系！她不会怎样的。 : 她是个好妈妈^^ 最後 祝大家期中考顺利 by路过的人 --

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