原文恕刪 ∞ sin(ax) ∫ ─────── dx ０ exp(2πx) - 1 我想那contour還是有點怪怪的，since 0,i有pole，所以要分開處理 把路徑拆成六個部分： 4 3 i┌───────────┐ ┌╯ │ │ │ 5│ │2 │ │ └╮ │ 0└───────────┘ 6 1 R 注意到： ∞ exp(iax) ∞ cos(ax) ∞ sin(ax) ∫ ------------- dx = ∫ ------------- dx + i ∫ ------------- dx 0 exp(2πx) - 1 0 exp(2πx) - 1 0 exp(2πx) - 1 （前提：Improper Integral收斂，自行驗證。 但在這不驗證，假設對，看起來也蠻對的因為上面bdd下面發散） 設i附近1/4圓半徑ε1，0附近1/4圓半徑ε0 1: R exp(iax) ∫ ------------- dx ε0 exp(2πx) - 1 2: 1 exp(ia(R+iy)) 1 2exp(-ay) |∫ ------------------ i dy | <∫ --------- dy → 0 0 exp(2π(R+iy)) - 1 0 exp(2πR) 有人對2.的估計有疑慮，這裡寫詳細一點： 1 1 | ------------------ | = | --------------------------------- | exp(2π(R+iy)) - 1 exp(2πR)(cos(2πy)+isin(2πy))-1 1 2 < ------------- < --------- ( R >> 1 ) exp(2πR) - 1 exp(2πR) 原本估計的時候沒有加常數就把1丟掉了，雖然結果一樣，嚴謹起見加個2 3: ε1 exp(ia(x+i)) R exp(iax) ∫ ----------------- dx = -exp(-a)∫ ------------- dx R exp(2π(x+i)) - 1 ε1 exp(2πx) - 1 4: z = i + ε1exp(iθ) , dz = iε1exp(iθ) dθ 3/2π exp(ia(i+ε1exp(iθ))) ∫ ---------------------------- iε1exp(iθ) dθ 2π exp(2π(i+ε1exp(iθ))) - 1 直接積，式子太長了我不打，重點： 2 exp(ε1exp(iθ)) = 1 + ε1exp(iθ) + (ε1exp(iθ)) /2! + ... 做完忽略高階項 i -a 總之結果：- - e 4 5: ε0 exp(-ay) 1 1 exp(-ay)(cos(πy) - i sin(πy)) ∫ -------------- i dy = - - ∫ ------------------------------- dy 1-ε1 exp(2πiy) - 1 2 0 sin(πy) 6: i 類似4，如法炮製之， 結果： - - 4 把1+2+3+4+5+6取虛部算，化簡即可 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.7.59 是　三樓說的沒錯　打字漏了 嗯　要算的話就是 1 1 - - ∫ exp(-ay)cot(πy) dy 2 0 不好處理，應該是個Improper Integral 這部分我們有請6,7樓表演 在下微積分計算不太行 ※ 編輯: rm2slg 來自: 140.112.7.59 (06/20 13:15)