原文恕删 ∞ sin(ax) ∫ ─────── dx ０ exp(2πx) - 1 我想那contour还是有点怪怪的，since 0,i有pole，所以要分开处理 把路径拆成六个部分： 4 3 i┌───────────┐ ┌╯ │ │ │ 5│ │2 │ │ └╮ │ 0└───────────┘ 6 1 R 注意到： ∞ exp(iax) ∞ cos(ax) ∞ sin(ax) ∫ ------------- dx = ∫ ------------- dx + i ∫ ------------- dx 0 exp(2πx) - 1 0 exp(2πx) - 1 0 exp(2πx) - 1 （前提：Improper Integral收敛，自行验证。 但在这不验证，假设对，看起来也蛮对的因为上面bdd下面发散） 设i附近1/4圆半径ε1，0附近1/4圆半径ε0 1: R exp(iax) ∫ ------------- dx ε0 exp(2πx) - 1 2: 1 exp(ia(R+iy)) 1 2exp(-ay) |∫ ------------------ i dy | <∫ --------- dy → 0 0 exp(2π(R+iy)) - 1 0 exp(2πR) 有人对2.的估计有疑虑，这里写详细一点： 1 1 | ------------------ | = | --------------------------------- | exp(2π(R+iy)) - 1 exp(2πR)(cos(2πy)+isin(2πy))-1 1 2 < ------------- < --------- ( R >> 1 ) exp(2πR) - 1 exp(2πR) 原本估计的时候没有加常数就把1丢掉了，虽然结果一样，严谨起见加个2 3: ε1 exp(ia(x+i)) R exp(iax) ∫ ----------------- dx = -exp(-a)∫ ------------- dx R exp(2π(x+i)) - 1 ε1 exp(2πx) - 1 4: z = i + ε1exp(iθ) , dz = iε1exp(iθ) dθ 3/2π exp(ia(i+ε1exp(iθ))) ∫ ---------------------------- iε1exp(iθ) dθ 2π exp(2π(i+ε1exp(iθ))) - 1 直接积，式子太长了我不打，重点： 2 exp(ε1exp(iθ)) = 1 + ε1exp(iθ) + (ε1exp(iθ)) /2! + ... 做完忽略高阶项 i -a 总之结果：- - e 4 5: ε0 exp(-ay) 1 1 exp(-ay)(cos(πy) - i sin(πy)) ∫ -------------- i dy = - - ∫ ------------------------------- dy 1-ε1 exp(2πiy) - 1 2 0 sin(πy) 6: i 类似4，如法炮制之， 结果： - - 4 把1+2+3+4+5+6取虚部算，化简即可 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.7.59 是　三楼说的没错　打字漏了 嗯　要算的话就是 1 1 - - ∫ exp(-ay)cot(πy) dy 2 0 不好处理，应该是个Improper Integral 这部分我们有请6,7楼表演 在下微积分计算不太行 ※ 编辑: rm2slg 来自: 140.112.7.59 (06/20 13:15)