※ 引述《realtemper (Lunatic Pandora)》之銘言： : 推 cjshine:我看不太懂連續頻率的第一句話... 12/25 22:04 : → cjshine:應該是說我想問分析長度趨近於無限是...?(有例子嗎?) 12/25 22:05 : → realtemper:就是隨便一個非週期性的訊號或聲波。 12/26 00:01 ....的確，「L→∞」這個取極限的動作， 背後有非常多的物理意義與圖像，一時之間很難講清楚。 但既然有人想聽，我也不怕從頭講起。 我先討論有限區間，再以 L→∞ 來近似無限區間， 是因為傅立葉分析的數學定理也是這樣被發展的。 有限區間的情形， 數學上有一個定理（高微課本裡面有）： 記 [-L/2, L/2] 上 piecewise conti 的函數所成的集合為 C 則 {sin(k_n*x), cos(k_n*x)} 與 {exp(i*k_n*x)} 都是 C 的一組complete basis (k_n = 2nπ/L；對sin/cos數列來說 n=0,1,2,...；對exp數列來說 n=整數) 用白話講，就是在 [-L/2, L/2] 區間上任何分段連續的函數， 都可以用上面任一組基底的線性組合表示。 注意 sin/cos(k_n*x) 或 exp(i*k_n*x) 都以 L 為週期 因此區間 [-L/2, L/2] 上的分析結果，必定也以 L 為週期。 like this： i*k_n*x 若 f(x) = Σc_n*e i*k_n*(x+mL) 則 f(x+mL) = Σc_n*e = f(x) 因此當且僅當 f(x) 有週期 L 時， 傅立葉分析的結果才不會自相矛盾，亦即在R上的每個週期皆能成立。 那非週期性的訊號要怎麼處理呢？ 一個可行的做法，就是只分析一個夠大的 [-L/2, L/2] 區間。 當然，因為前述 (k_n*x) 的週期性， 這樣分析出來的傅立葉級數會以 L 為週期， 導致在區間 [-L/2, L/2] 以外，分析結果與非週期的原函數無法吻合。 但如果令 L→∞，這個問題就不存在了。 以上就是「讓分析長度趨近無限」這個想法的由來。 在 L→∞ 的極限， k_n = 2nπ/L 就趨近於連續(因為 k_n 之間的間隔 nπ/L→0)。 這件事情是有物理意義的： 因為 {sin(k_n*x), cos(k_n*x)} 或 {exp(i*k_n*x)} 的每一個元素 其實就是能在區間 L 上存活的一種「基本振動模式」。 所以 k_n 成為連續，就表示任意 k_n 的振動模式都能在該區間上存活。 或者說：任何k值(可換算為頻率、波長)所代表的的基本振動模式， 都可能是一個波的基本成分， 而一個波也可能必須用到每一個（連續的）k值才能組成。 這件事情的物理圖像是很明顯的： (1) 繩波 在長度為的 L 繩子上，能存活的振動模式就是駐波， 其振動模式裡頭的「基本成分」就是基音與第1,2,3,...泛音。 相信這個高中都教過了。 當 L→∞ 時，k_n→ conti， 就表示任何頻率的波都將變成繩子上的一個泛音而存活下來。 因此更進一步的推論就是： 在一根近乎完全自由的繩子上， 我們將可以製造任何頻率的波，並且疊加出任何的波形。 （這才是符合現實狀況的。） (2) particle in a box 物質波有 eigenfunction ψ_n(x) = √(2/L) sin(nπx/L) 能量有 eigenvalue E_n = n^2 h^2 / 8mL^2 這表示物質在盒子中的狀態是： (a) 能量是量子化的，只能位於特定的能階上 (b) 密度不是均勻分佈 (c) 最低能量的狀態並非靜止 相信學過普化的都知道了。不知道的話請上網搜尋 particle in a box。 在量子物理發展的精神裡頭， 有一個很重要的原則叫做「corresponding principle」： 量子物理的任何結論， 在極限情形都必須跟古典物理的結果 coincide，否則量子力學便是無效的。 （因為一套不符合實驗結果的理論一定是錯的） 在這個例子當中，我們很容易發現 L→∞ 的情形與古典物理相符： (a) E_n 的間距 → 0，這表示粒子可以擁有任何能量。 (b) 一點點的 E 就會對應到足夠大的 n， 使得密度 |ψ_n|^2 趨於平均，即物質在盒中被發現的機率處處相等。 (c) E_1 → 0，粒子的基態可趨於靜止。 所以「L→∞」是在幹嘛， 你可以舉出很多例子，看你要分析的振動物是什麼。 物質波可以想像成 free particle 電磁波可以想像成非週期性的訊號 你把非週期性的訊號通過頻譜分析儀，出來一定會是連續頻帶， 週期性的訊號，出來一定是不連續頻帶。 （普物實驗玩過了沒？） 大概就是這樣。 還有問題的話， 星期天來助教時間有咖啡喝 :P -- ├─┤｜╳ ╳ ├─┤╰┼─╯ 機 車 ▄ ○ ─ ┬╭┬╯ ├──┬─╯ ╰┬╯｜╳ ╳ ╰┬╯├┬┬┤ ▃▂▁ˍ ◣╲ ｜╭┼╮ ╯╭─┼─╯ ├┴┤├──╮ ├┴┤╰┴┴╯ ◥ ▄▂◤ ◥ ｜╭┴┴ ╮｜ ｜ ╭ ╰┬╯｜╳ ╳ ╰┬╯├──┤ ◢ ▆▄◣ ◢◤╲ ┬╭┬╯ ╰┴─┼─╯ ╭┼╮｜╳ ╳ ╭┼╮├──┤ ｜ ◎ ▆▄▂◤◎ ｜ ｜╭┼╮ ╭──╯ ｜｜｜╰──╮ ｜｜｜╰┬┬╯ ╲＿╱ ╲＿╱ ｜｜｜｜ real㊣temper --

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