※ 引述《realtemper (Lunatic Pandora)》之铭言： : 推 cjshine:我看不太懂连续频率的第一句话... 12/25 22:04 : → cjshine:应该是说我想问分析长度趋近於无限是...?(有例子吗?) 12/25 22:05 : → realtemper:就是随便一个非周期性的讯号或声波。 12/26 00:01 ....的确，「L→∞」这个取极限的动作， 背後有非常多的物理意义与图像，一时之间很难讲清楚。 但既然有人想听，我也不怕从头讲起。 我先讨论有限区间，再以 L→∞ 来近似无限区间， 是因为傅立叶分析的数学定理也是这样被发展的。 有限区间的情形， 数学上有一个定理（高微课本里面有）： 记 [-L/2, L/2] 上 piecewise conti 的函数所成的集合为 C 则 {sin(k_n*x), cos(k_n*x)} 与 {exp(i*k_n*x)} 都是 C 的一组complete basis (k_n = 2nπ/L；对sin/cos数列来说 n=0,1,2,...；对exp数列来说 n=整数) 用白话讲，就是在 [-L/2, L/2] 区间上任何分段连续的函数， 都可以用上面任一组基底的线性组合表示。 注意 sin/cos(k_n*x) 或 exp(i*k_n*x) 都以 L 为周期 因此区间 [-L/2, L/2] 上的分析结果，必定也以 L 为周期。 like this： i*k_n*x 若 f(x) = Σc_n*e i*k_n*(x+mL) 则 f(x+mL) = Σc_n*e = f(x) 因此当且仅当 f(x) 有周期 L 时， 傅立叶分析的结果才不会自相矛盾，亦即在R上的每个周期皆能成立。 那非周期性的讯号要怎麽处理呢？ 一个可行的做法，就是只分析一个够大的 [-L/2, L/2] 区间。 当然，因为前述 (k_n*x) 的周期性， 这样分析出来的傅立叶级数会以 L 为周期， 导致在区间 [-L/2, L/2] 以外，分析结果与非周期的原函数无法吻合。 但如果令 L→∞，这个问题就不存在了。 以上就是「让分析长度趋近无限」这个想法的由来。 在 L→∞ 的极限， k_n = 2nπ/L 就趋近於连续(因为 k_n 之间的间隔 nπ/L→0)。 这件事情是有物理意义的： 因为 {sin(k_n*x), cos(k_n*x)} 或 {exp(i*k_n*x)} 的每一个元素 其实就是能在区间 L 上存活的一种「基本振动模式」。 所以 k_n 成为连续，就表示任意 k_n 的振动模式都能在该区间上存活。 或者说：任何k值(可换算为频率、波长)所代表的的基本振动模式， 都可能是一个波的基本成分， 而一个波也可能必须用到每一个（连续的）k值才能组成。 这件事情的物理图像是很明显的： (1) 绳波 在长度为的 L 绳子上，能存活的振动模式就是驻波， 其振动模式里头的「基本成分」就是基音与第1,2,3,...泛音。 相信这个高中都教过了。 当 L→∞ 时，k_n→ conti， 就表示任何频率的波都将变成绳子上的一个泛音而存活下来。 因此更进一步的推论就是： 在一根近乎完全自由的绳子上， 我们将可以制造任何频率的波，并且叠加出任何的波形。 （这才是符合现实状况的。） (2) particle in a box 物质波有 eigenfunction ψ_n(x) = √(2/L) sin(nπx/L) 能量有 eigenvalue E_n = n^2 h^2 / 8mL^2 这表示物质在盒子中的状态是： (a) 能量是量子化的，只能位於特定的能阶上 (b) 密度不是均匀分布 (c) 最低能量的状态并非静止 相信学过普化的都知道了。不知道的话请上网搜寻 particle in a box。 在量子物理发展的精神里头， 有一个很重要的原则叫做「corresponding principle」： 量子物理的任何结论， 在极限情形都必须跟古典物理的结果 coincide，否则量子力学便是无效的。 （因为一套不符合实验结果的理论一定是错的） 在这个例子当中，我们很容易发现 L→∞ 的情形与古典物理相符： (a) E_n 的间距 → 0，这表示粒子可以拥有任何能量。 (b) 一点点的 E 就会对应到足够大的 n， 使得密度 |ψ_n|^2 趋於平均，即物质在盒中被发现的机率处处相等。 (c) E_1 → 0，粒子的基态可趋於静止。 所以「L→∞」是在干嘛， 你可以举出很多例子，看你要分析的振动物是什麽。 物质波可以想像成 free particle 电磁波可以想像成非周期性的讯号 你把非周期性的讯号通过频谱分析仪，出来一定会是连续频带， 周期性的讯号，出来一定是不连续频带。 （普物实验玩过了没？） 大概就是这样。 还有问题的话， 星期天来助教时间有咖啡喝 :P -- ├─┤｜╳ ╳ ├─┤╰┼─╯ 机 车 ▄ ○ ─ ┬╭┬╯ ├──┬─╯ ╰┬╯｜╳ ╳ ╰┬╯├┬┬┤ ▃▂▁ˍ ◣╲ ｜╭┼╮ ╯╭─┼─╯ ├┴┤├──╮ ├┴┤╰┴┴╯ ◥ ▄▂◤ ◥ ｜╭┴┴ ╮｜ ｜ ╭ ╰┬╯｜╳ ╳ ╰┬╯├──┤ ◢ ▆▄◣ ◢◤╲ ┬╭┬╯ ╰┴─┼─╯ ╭┼╮｜╳ ╳ ╭┼╮├──┤ ｜ ◎ ▆▄▂◤◎ ｜ ｜╭┼╮ ╭──╯ ｜｜｜╰──╮ ｜｜｜╰┬┬╯ ╲＿╱ ╲＿╱ ｜｜｜｜ real㊣temper --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 203.67.40.87 ※ 编辑: realtemper 来自: 203.67.40.87 (12/26 02:10)