如果把函數想像成向量 sin(nπx/L) 跟 cos(nπx/L) 想像成基底向量(即 e1, e2 一類的東西) 那麼一言以蔽之，傅立葉轉換就是在計算函數的某個分量。 舉個直角坐標的例子 e1=(1,1,0)/√2 , e2=(-1,1,0)/√2, e3=(0,0,1)，三者兩兩正交 若我們要計算向量 v 的 v1 分量，就是用 v‧e1，相信大家都知道的。 為什麼這件事情是對的呢？ 那是因為在正交坐標系裡頭，"▁▁‧ei" 這個動作(算子)有一個特性 就是 ej‧ei = δij，其他成分跟自己的內積皆為零， 所以假如我們要取出 v = v1e1 + v2e2 + v3e3 的 v1 成分 那麼只要把等式兩邊 apply "▁▁‧e1" 算子 就變成 v‧ei = v1e1‧e1 + v2e2‧e1 + v3e3‧e1 ^^^^^^^^只有這項留下 那傅立葉轉換跟這有什麼關係？ 為什麼 sin(nπx/L) 跟 cos(nπx/L) 可以當作基底向量， 並以線性組合的方式來湊出函數f(x)呢？ 這是一個數學上的事實（這邊只講大意，精確的版本要參考高微）： 1.有限閉區間(長度L)上的連續函數 都可以表示成 sin(nπx/L) 跟 cos(nπx/L) 的線性組合 2.無限區間上的連續函數， 都可以表示成 sinkx 與 coskx 的線性組合（或者等價的，exp(ikx)） 但是從物理的角度來看，這兩件事情是很顯然的： 1.在閉區間上，若把函數f(x)想像成弦的振動 那麼你們都知道，弦上只有一些穩定的振動模式能夠存活 就是駐波，sin(nπx/L) 跟 cos(nπx/L) 所以任何穩定的駐波振動，都必然是這兩種函數的線性組合， 不可能包含其他的成分。 故以這些駐波模式做為基底，是一種很自然的看法。 2.如果是無限區間，那麼弦振動的方式就可以被隨意決定， 所以會包含任意頻率的振動模式 （也有一種看法是 L→∞ 時，sin(nπx/L)就變成連續的了） 所以「如何以 sin(nπx/L) 跟 cos(nπx/L) 的線性組合湊出連續函數 f(x)」 這個湊法的存在性有數學定理保證 所以 f(x) = Σan sin(nπx/L) + Σbn cos(nπx/L) +b0/2 這種寫法是存在的， 問題就是如何找出 an 跟 bn（即各成分的振幅）。 怎麼找呢？ 注意到 L/2 L/2 轉換算子 ∫▁▁sin(nπx/L) dx 或 ∫▁▁cos(nπx/L) dx -L/2 -L/2 其實具有內積的特性： (1)∫sin(mπx/L)cos(nπx/L) dx = 0 (2)∫sin(mπx/L)sin(nπx/L) dx = L/2 δmn (3)∫cos(mπx/L)cos(nπx/L) dx = L/2 δmn 而這點也可以用物理的角度來看： 若把∫f(x)g(x)dx 解釋成相關係數，fg同號的區間貢獻正值，反之則貢獻負值， 那麼兩個獨立的駐波振動模式，同正或同負的區間長度將會均等。 畫個第1泛音跟第2泛音，觀察其正負便可明白。 如果把 L/2 除掉(normalize)， 那麼 (2/L)∫▁▁sin(nπx/L) dx 跟 (2/L)∫▁▁cos(nπx/L) dx這種動作 就相當於直角坐標下的"▁▁‧ei"算子 因此，我們若要計算 下面等式的各項係數 f(x) = Σan sin(nπx/L) + Σbn cos(nπx/L) +b0/2 只要兩邊 apply (2/L)∫▁▁sin(nπx/L) dx 或 (2/L)∫▁▁cos(nπx/L) dx 即可 所以才會得到下面公式 an = (2/L)∫f(x)sin(nπx/L) dx bn = (2/L)∫f(x)cos(nπx/L) dx （包含b0） 無限區間的內積牽涉到 delta-function 不過除此之外，概念基本上是類似的。 --

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